Il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che è impossibile misurare contemporaneamente la posizione e il momento (usualmente la massa per la velocità) di una particella con precisione arbitraria. Se si misura di una coordinata della posizione di una particella, diciamo x avrà sempre una certa “imprecisione” ∆x, ovvero il numero che ottenuto per la posizione delle particella sarà comunque gravato da un errore. È possibile ridurre questo errore, e in principio (ma solo in principio!) renderlo piccolo a piacere.

Lo stesso ragionamento possiamo farlo per la velocità. Ma in meccanica quantistica risulta impossibile effettuare entrambe queste misure con una precisione arbitraria. Ovvero, passato un certo limite, se tentiamo di aumentare la precisione della misura della posizione, peggioriamo quella della velocità e viceversa. La formula dice che

dove , la componente lungo una direzione del momento. E   è la costante di Planck diviso 2π.
La formulazione del principio fu fatta da Heisenberg negli anni venti del secolo scorso a Copenaghen, quando il giovane fisico (era nato nel 1901) era assieme a Bohr ed ai suoi collaboratori. Il principio è una conseguenza della meccanica matriciale che si stava sviluppando in quegli anni.

In maniera parallela allo sviluppo della funzione d’onda, iniziato da Schrodinger, l’idea di Heisenberg are che le quantità fisiche in meccanica quantistica non siano descritte da semplici numeri, ma da oggetti più elaborati chiamati matrici. Le matrici sono un insieme di numeri disposti in un quadrato di righe e colonne, e il prodotto di matrici si effettua moltiplicando le righe per le colonne. Una caratteristica fondamentale del prodotto di matrici è che esso non è commutativo. Ovvero , e nella fattispecie

con i l’unità immaginaria.

Una conseguenza di questa noncommutatività è appunto che le misure delle due quantità sono inestricabilmente correlate, e la misura di una influenza la misura dell’altra.
Quanto alla domanda: Perchè h (o ) ha questo valore?

La costante di Planck, assieme alla costante di gravitazione universale ed alla velocità della luce forma un insieme di costanti fondamentali dimensionali della natura. Questa costanti non sono numeri pure (come per esempio π) e vanno misurate in un esperimento.

Non sappiamo perchè esse abbiano il valore che hanno, ed è possibile immaginare universi dove esse abbaino valori diversi (magari in altre epoche della evoluzione dell’universo). Ci sono altre costanti (per esempio le masse delle particelle o le loro cariche) che sappiamo hanno avuto valori diversi quando l’universo era molto caldo.

Spesso una raffinamento della teoria riconduce il valore di una costante dimensionale ad altri valori di altre quantità fisiche, provvedendo a una “unificazione”. Nel caso delle costanti fondamentali questo è più difficile da immaginare. In un’altra risposta ad Ulisse Le costanti, ho affrontato il problema delle costanti fondamentali, ed una sua lettura (con le referenze) potrebbe essere utile.