Non è la prima volta che Ulisse mi chiede di rispondere a una domanda che ha a che fare col caso. Credo che non sia… un caso, ma che dipenda (oltre che dalle mie competenze) dall’interesse intrinseco che il problema riveste per tutti, infatti non per niente mi si chiede cosa esso significhi non solo dal punto di vista matematico e scientifico, ma anche da quello psicologico e filosofico.

A una domanda del genere si può rispondere o scrivendo un trattato o in maniera molto sbrigativa: per ovvie ragioni, cercherò di trovare un ragionevole compromesso tra i due estremi.

Cominciamo col chiarire in via preliminare alcune questioni che vengono poste nella seconda parte della domanda, che non richiedono una discussione particolarmente approfondita e possono aiutarci a trovare la buona strada per rispondere alla domanda principale.

Anzitutto: i frattali non rappresentano un buon esempio di distribuzione casuale, perché non sono affatto casuali. Sono invece una forma di ordine complesso, a metà strada tra l’ordine e il disordine, o, se si preferisce, tra il caso e la necessità. Dico questo perché si sospetta fortemente (e in alcuni casi si è anche riusciti a dimostrarlo) che i frattali rappresentino la forma geometrica più adeguata a rappresentare le dinamiche evolutive degli esseri viventi, e infatti non per niente la principale caratteristica dei frattali è l’autosomiglianza, cioè qualcosa che sta a metà fra l’identità perfetta e la semplice diversità, esattamente come accade agli individui appartenenti ad una stessa specie.

Nemmeno le galassie rappresentano un buon esempio di distribuzione casuale, in quanto da una ventina d’anni a questa parte si è scoperto che anch’essa segue uno schema frattale (e quindi, per quanto appena detto, non casuale), sicuramente almeno entro un raggio di 3 miliardi di anni luce, ma ci sono buone ragioni per ritenere che ciò valga a qualsiasi scala.

Era invece corretta la sua idea iniziale: una distribuzione casuale è infatti sostanzialmente uniforme, anche se va aggiunta la precisazione (che lei stesso aveva iniziato a fare, sia pure in maniera incompleta), che questo vale solo “ad una certa scala”, cioè, per dirla più chiaramente, ad una scala apprezzabilmente più grande rispetto a quella degli oggetti considerati, perché se l’uniformità valesse a tutte le scale, allora avremmo invece una distribuzione perfettamente ordinata. Questo è lo stesso che si verifica in una sequenza numerica casuale, diciamo per esempio, per semplicità, una sequenza di 0 e 1 ottenuta lanciando molte volte una moneta: a grande scala ci si aspetta che vi sia un 50% di 0 (testa) e un 50% di 1 (croce), tuttavia se questo valesse a tutte le scale ci troveremmo di fronte a una sequenza del tipo 010101010101… (testa-croce-testa-croce-testa-croce…) che indurrebbe chiunque a concludere che la moneta è truccata e dunque l’esito dei lanci non è per niente affatto casuale.

Questo ci spiega anche che cosa sia l’entropia, che in effetti in se stessa “non è una forma di geometria”, anche se in un certo senso ha a che fare (anche) con la geometria, come del resto con qualsiasi altra cosa, dato che si tratta di un principio universale. La legge dell’entropia afferma che qualsiasi sistema isolato (cioè lasciato a se stesso, senza interventi dall’esterno che possano alterarne la dinamica spontanea) tende sempre a passare da uno stato più ordinato a uno meno ordinato e mai viceversa. Si badi che ho scritto “tende”: infatti si tratta solo di una probabilità, anche se essa cresce col numero degli elementi che compongono il sistema, per cui per sistemi complessi diventa praticamente una certezza.

Perché ciò accade? La risposta, molto semplicemente, è che gli stati più disordinati sono più probabili di quelli ordinati. Per convincercene torniamo all’esempio precedente. Una sequenza in cui gli 0 e gli 1 compaiano ciascuno il 50% delle volte può essere realizzata in molti modi diversi, che saranno tanto più numerosi quanto più lunga sarà la sequenza: infatti, data una qualsiasi sequenza di questo tipo, sarà sempre possibile cambiare l’esito di un numero arbitrariamente grande di lanci senza alterare la media totale a patto che ogni cambio venga compensato da un altro simmetrico in un’altra parte della sequenza. Invece una sequenza ordinata al massimo grado, cioè una sequenza in cui uno dei due elementi, diciamo l’1, compaia il 100% delle volte e l’altro lo 0%, potrà ovviamente essere ottenuta in un solo modo, cioè a patto che tutti i lanci, nessuno escluso, diano come risultato croce: ed è intuitivo che la probabilità che ciò accada diminuisce esponenzialmente col crescere della sequenza, cioè del numero dei lanci (ottenere tutti 1 con un solo lancio ha una probabilità del 50%; con 2 lanci scende già al 25%; con 3 lanci è del 12,5%; e così via). Quindi, se consideriamo una particolare sequenza come il modello matematico di una determinata struttura caratterizzata da una certa forma, il passaggio a stati progressivamente più disordinati significa certamente “una tendenza della forma di un’informazione a procedere verso il caso”, anche se di per sé l’entropia non è una geometria (piuttosto potremmo dire che è la misura del “grado di geometria”, cioè, appunto, di ordine, di un determinato sistema).

Con ciò tuttavia non siamo ancora giunti a una vera definizione del concetto di caso. Infatti il criterio della semplice distribuzione uniforme non è sufficiente, come avevamo già rilevato all’inizio, giacché anche la sequenza 010101010101… presenta il 50% di 0 e il 50% di 1, eppure nessuno la considererebbe casuale. Perché? La risposta a prima vista sembra ovvia: perché questa sequenza può essere realizzata in un solo modo, giacché qualsiasi cambiamento ne altererebbe la struttura. Ma attenzione! Quasi tutte le grandi scoperte scientifiche sono nate da domande che sembravano ovvie, e che poi, quando qualcuno ha provato a rispondervi, si è visto che non erano ovvie per niente. E anche stavolta è così.

Infatti quanto abbiamo appena detto vale in realtà per qualsiasi sequenza: solo che negli altri casi (quelli che riteniamo genuinamente casuali) questo cambio non ci disturba, in quanto la loro struttura non ci sembra significativa. Dunque la struttura della sequenza di cui sopra ha qualcosa di speciale. Ma cosa, esattamente? Dopo averci riflettuto un po’, la risposta ci sembra ancora tutto sommato abbastanza ovvia, anche se già meno di quella precedente: la differenza è che la struttura della nostra sequenza è una struttura che presenta una regolarità. Ma, di nuovo, cosa significa esattamente “regolarità”? Riflettiamo ancora un po’, ed ecco la nuova risposta, sempre ancora abbastanza ovvia, anche se di nuovo un po’ meno di quella precedente: “regolarità” significa per l’appunto che esiste una regola da cui la struttura in esame può essere generata. Già: ma, di nuovo, cosa significa esattamente “regola”? (Questa insistenza sull’esattezza non è pedanteria, ma è essenzialmente ciò che distingue la scienza dalla non scienza).

Dopo una riflessione che stavolta ci prende un po’ più di tempo, giungiamo alla seguente conclusione: una regola è una serie d’istruzioni che, se eseguite correttamente, hanno come risultato quello di portarci a scrivere la sequenza desiderata. Tutto chiaro? Neanche per sogno! Infatti, è facile obiettare che almeno una regola di questo tipo esiste per qualsiasi sequenza, perché sarà sempre possibile quantomeno scrivere l’istruzione: “Scrivi la sequenza X”, seguita da tutti i simboli della sequenza in questione. Questo a prima vista ci appare più che altro un trucco, e in effetti in un certo senso lo é. Tuttavia è innegabile che anche la regola di cui sopra soddisfa la definizione che avevamo proposto in prima battuta: e non è per niente facile trovarne un’altra che traduca in una forma inattaccabile la nostra comprensione intuitiva. Dopo matura riflessione, tuttavia, arriviamo ad una formulazione che sembra soddisfacente, anche se questa volta non è più per nulla ovvia. Qual è infatti la ragione fondamentale della nostra insoddisfazione di fronte a una regola formulata come “Scrivi la sequenza X”? È che nella nostra comprensione intuitiva una regola è qualcosa che in qualche modo “riassume”, in maniera più sintetica, la cosa di cui parla. Quindi una regola soddisfacente dovrà essere una serie d’istruzioni più breve della sequenza considerata, che, se eseguite correttamente, hanno come risultato quello di portarci a scrivere la sequenza stessa. È questo il concetto di “comprimibilità algoritmica”, col quale cominciamo finalmente a rispondere anche alla prima parte della domanda.

Infatti la definizione matematica di caso è la seguente: si dice formalmente casuale (random in inglese) una sequenza che non sia algoritmicamente comprimibile, cioè per cui non esista nessuna sequenza di istruzioni più breve della sequenza considerata che abbia come risultato quello di generare la sequenza stessa. Tutto risolto, dunque? Assolutamente no! Infatti in questo processo si è verificato (senza quasi che ce ne accorgessimo, ma tuttavia realmente) un notevole slittamento del significato della parola “caso”: da “ciò che non ci appare significativo” a “ciò che non può essere riassunto in forma più breve”. Questo naturalmente era inevitabile: era il prezzo da pagare per poter giungere alla formulazione di una definizione rigorosamente quantitativa, la sola che possa essere accettata in matematica e, più in generale, nella scienza. In ciò non vi è nulla di male: fin dalla sua nascita la scienza si è caratterizzata per questa sua auto-limitazione allo studio delle “affezioni” misurabili della realtà. Non ha nessun senso cercare di andare contro questa fondamentale prescrizione metodologica di Galileo, e chiunque ci ha provato ha sempre fatto soltanto danni. Ciò a cui si deve prestare sempre la massima attenzione è invece non dimenticare mai che appunto di una limitazione si tratta, per quanto auto-imposta: e dunque aver sempre chiaro che non ci si può basare su di essa per dichiarare privo di senso tutto ciò che, in conseguenza di essa, viene a trovarsi al di fuori dell’ambito della scienza. In relazione al nostro tema specifico, ciò significa che per la matematica il concetto di caso coincide effettivamente con quello di incomprimibilità algoritmica: e non solo in questo non c’è nulla di male, ma si tratta anzi di un approccio estremamente fecondo, dato che studiarlo da questo punto di vista porta a scoperte del massimo interesse (su cui ora ovviamente non posso diffondermi, ma cercherò di dare almeno qualche indicazione nella bibliografia finale). Al tempo stesso, la incomprimibilità algoritmica non esaurisce il concetto di “caso”, dato che il metodo matematico (e, più in generale, il metodo scientifico) non esaurisce l’ambito della  conoscenza, che è più ampio, come Galileo per primo ben sapeva e non ha mai smesso di ricordarci.

E con questo giungiamo all’ultima parte della domanda. Cosa è il caso per la psicologia e la filosofia? Bene, per quanto riguarda la psicologia non risponderò rifacendomi a teorie specifiche, anche perché non le conosco abbastanza bene, non essendo il mio mestiere. Mi baserò invece sull’esperienza. Quando dunque abbiamo la percezione che le cose, o almeno alcune cose, ci accadano a caso? Direi quando ci sembra che non abbiano nessun nesso tra di loro e/o col contesto della nostra vita nella sua globalità. In particolare, ci sembra che le cose accadano a caso quando non hanno (o non sembrano avere) nessun nesso con quell’aspetto essenziale della nostra vita che è il nostro desiderio umano fondamentale, cioè il nostro desiderio di felicità. Da questo punto di vista la mancanza di nesso si rivela, al fondo, come mancanza di significato.

Con ciò stiamo già scivolando nell’ambito filosofico, cosa del resto non sorprendente, dato che la filosofia è nata proprio per cercare la ragione ultima delle cose, ma innanzitutto di quelle che più ci colpiscono, nel bene come nel male. Benché esistano molte e diverse teorie filosofiche del caso, mi pare che esse si differenzino essenzialmente per la posizione che prendono nei suoi confronti (nel senso di ammetterlo o non ammetterlo), mentre per quanto riguarda la sua definizione credo che almeno la grande maggioranza, se non proprio la totalità dei filosofi concordi sul fatto che “casuale” nel senso filosofico del termine è proprio ciò che non ha significato. A prima vista potrebbe sembrare che vi siano anche altre definizioni: per esempio “ciò che accade senza ragione” o anche addirittura “ciò che accade senza una causa”. Però se si va a vedere da vicino in genere si finisce per scoprire che chi si esprime così intende in realtà “ciò che accade senza una particolare ragione” o “ciò che accade senza una causa intenzionale”, col che anche queste definizioni si riducono a quella della mancanza di significato. Questo perché, come lei giustamente nota, “tutto è prodotto secondo un processo”, il problema essendo quindi solo quello di sapere se questo processo è o non è orientato ad un fine. Solo una minoranza di filosofi (nonché di fisici), rifacendosi in genere alla meccanica quantistica, o, per l’esattezza, ad una certa interpretazione filosofica della meccanica quantistica, si spinge ad affermare la reale esistenza di avvenimenti letteralmente senza causa: ma anche costoro in genere finiscono poi per correggere il tiro parlando di “cause probabilistiche”, il che o si riduce di nuovo all’idea di un processo causale senza un fine prestabilito, o è una nozione contraddittoria, e quindi vuota, ma che comunque dimostra come l’idea di un evento davvero privo di causa ripugni alla ragione, tanto che è difficile perfino concepirla realmente. Dunque abbiamo ritrovato nell’ambito psicologico, esistenziale e filosofico proprio quell’aspetto di mancanza di significato da cui era partita la nostra riflessione a proposito del caso in ambito matematico, e che poi eravamo stati costretti a lasciar cadere lungo la strada che ci ha portati a darne una definizione formale.

A questo punto possiamo finalmente affrontare l’ultima e più importante questione: il caso “è un fenomeno presente in natura” o è solo “un’idea astratta”? Credo sia ormai chiaro che la risposta dipende in maniera determinante da cosa si intende per “caso”. Se infatti lo intendiamo nel senso strettamente formale della incomprimibilità algoritmica, è certo che esistono sia in matematica che nella natura reale molti processi che non ammettono una regola capace di “riassumerli” in termini più brevi: senza andare tanto lontano, le nostre stesse vite sono esempi di fenomeni di questo tipo. Ma se invece lo intendiamo nel senso sostanziale dell’assenza di significato, le cose cambiano. Infatti addirittura nella stessa matematica non sempre la casualità formale coincide con la mancanza di significato (né c’è alcuna ragione per cui dovrebbe farlo, visto che la definizione, come abbiamo  visto, è stata ottenuta proprio rinunciando a prendere in considerazione questo aspetto). Per esempio, π è un numero formalmente random, però questo non significa che la sua espansione decimale sia casuale nel senso che avrebbe anche potuto essere diversa o che non c’è nessuna particolare ragione perché sia quella che è. Al contrario: π è quello che è per ragioni profondissime (tanto che non abbiamo ancora finito di capirle completamente) che coinvolgono in certo senso la natura dell’intera matematica, pertanto è uno dei numeri più interessanti e carichi di significato che esistano e non avrebbe assolutamente potuto essere diverso da come è, per cui tanto la sua esistenza quanto la sua struttura sono assolutamente necessarie e, in questo senso, sono quanto di meno casuale si possa immaginare. D’altra parte, basta riflettere un momento per rendersi conto di una cosa, che la teoria dell’informazione ha anche dimostrato formalmente, ma che si può capire facilmente anche a livello intuitivo, e cioè che la regola più breve che ci consente di comprimere una sequenza è essa stessa algoritmicamente incomprimibile (se infatti lo fosse, la regola più breve sarebbe quella che la comprime): eppure come si potrebbe sostenere che sia priva di significato, dato che contiene in sé tutto il significato della sequenza compressa, che proprio in quanto ha potuto essere compressa è certamente non casuale? Come se non bastasse, un altro teorema dimostrato dalla teoria dell’informazione stabilisce che il problema di trovare la regola minima capace di comprimere una sequenza data è indecidibile, cioè non si può mai dimostrare né che una certa regola è la più breve possibile né che non lo è: il che significa, tra le altre cose, che non si può mai essere certi che una sequenza sia formalmente random (dato che ciò equivarrebbe a dimostrare che non esiste nessuna regola più breve della regola “Scrivi la sequenza X”). Quindi, riassumendo: non possiamo mai essere certi che una sequenza data sia formalmente casuale, e in ogni caso la casualità formale non ha nulla a che vedere con il problema del suo significato. Ovviamente, se ciò vale perfino nell’ambito della più esatta delle scienze, la matematica, varrà anche, e anzi a maggior ragione, in relazione agli enti naturali.

Tutto ciò significa che il problema del significato non può essere risolto nell’ambito scientifico, e dovrà quindi essere affrontato a un diverso livello, filosofico ed eventualmente religioso, anche se naturalmente anche questo tipo di riflessione dovrà tenere conto delle scoperte scientifiche, senza però che queste possano pretendere di determinarne univocamente il risultato (perché questo equivarrebbe a pretendere di nuovo di risolvere il problema al livello puramente scientifico).

Per approfondire

Sul problema della comprimibilità delle sequenze:
Bennett Charles H., Dissipation, Information, Computational Complexity and the Definition of Organization, 1985, in Pines David,  Emerging Syntheses in Science, Santa Fe Institute Pubblications, Addison Wesley, New York, 1987, pp. 215-231.
Sulla casualità in matematica:
Chaitin Gregory J., La casualità in aritmetica, 1988, in Casati Giulio, Il caos. Le leggi del  disordine, Le Scienze S.p.A. Editore, Milano, 1991, pp. 193-197.
Sui frattali e il caos deterministico:
Gleick James, Caos, Rizzoli, Milano, 1987.
Mandelbrot Benoît,  La geometria della natura, Imago, Milano, 1983.
Su caso, caos e significato:
Musso Paolo, Filosofia del caos, Franco Angeli, Milano, 1997.