Per dare risposte significative a questi quesiti, è necessario precisare le condizioni in cui si verificano i due eventi.

Caso A: la prima automobile si muove con velocità V e urta la seconda, che è ferma.
Dobbiamo accettare molte ipotesi: le due automobili sono del tutto identiche dal punto di vista strutturale e hanno la stessa massa M. L’urto è frontale, ogni forza esterna, quale l’attrito con il suolo, sia assente o trascurabile; si può supporre che sulla strada, nel tratto in cui avviene l’urto, ci sia del ghiaccio. Dobbiamo aggiungere l’ulteriore ipotesi che, prima dell’urto, l’energia del sistema delle due vetture sia riconducibile alla sola energia cinetica di traslazione della prima automobile, sia quindi trascurabile l’energia di rotazione delle ruote e delle parti rotanti del motore. Definite queste condizioni, possiamo affermare che, prima dell’urto, l’energia del sistema è pari a ½ MV² .

Caso B: le due automobili sono in moto l’una verso l’altra, ciascuna con velocità pari a V/2; ferme restando tutte le condizioni e approssimazioni relative al caso A, possiamo calcolare l’energia del sistema, prima dell’urto, come la somma delle energie cinetiche  di traslazione delle due automobili. Abbiamo la somma di due addendi uguali, ciascuno pari a ½ M(V/2)². Si ha allora che l’energia totale, prima dell’urto, nel caso B è la metà di quella relativa al caso A.

Sembrerebbe potersi concludere che, essendo coinvolta nel caso A un’energia doppia rispetto al caso B, i danni subiti dalle vetture, che supponiamo si incastrino l’una nell’altra a formare un unico ammasso (urto totalmente anelastico), siano maggiori che nel caso B. Ma non è così.

Infatti nei processi d’urto, siano essi elastici o anelastici, esiste, oltre all’energia, un’altra grandezza fisica, la quantità di moto totale del sistema, che si conserva. Nel caso A, la quantità di moto del sistema, prima dell’urto, è un vettore che ha la direzione e il verso del vettore velocità della prima automobile e il modulo pari a MV. Subito dopo l’urto, questa quantità di moto non può sparire: l’ammasso delle due vetture, incastrate insieme, deve muoversi in modo da conservare la quantità di moto iniziale. La massa delle vetture è 2M, quindi l’ammasso si deve muovere con velocità in modulo pari a V/2, in modo che 2M(V/2) = MV. L’energia cinetica associata al moto dell’ammasso è uguale a ½(2M)(V/2)², quindi uguale alla metà di quella iniziale.

Risulta allora che, nel caso A, solamente la metà dell’energia iniziale è dissipata nelle deformazioni e rotture delle due vetture, l’altra metà restando in forma cinetica nel moto delle automobili incastrate. Nei casi reali l’attrito fra suolo e insieme delle due automobili finirà per dissipare anche questa residua energia cinetica, ma possiamo supporre senza ulteriori deformazioni delle vetture.

Nel caso B, la quantità di moto totale del sistema, prima dell’urto, è la somma di due vettori, di uguale direzione e di modulo MV/2, ma di verso opposto, quindi essa è nulla.

Sarà nulla anche dopo l’urto, quindi le due automobili si deformano incastrandosi, ma l’ammasso è fermo rispetto al suolo. Tutta l’energia cinetica iniziale è spesa nelle deformazioni e rotture delle due vetture. Si può allora concludere che i due casi A e B sono equivalenti e che ci dobbiamo attendere gli stessi danni alle due vetture.

Resta il quesito: le due vetture si danneggiano, o meglio si deformano, ugualmente?

Nel caso B un semplice argomento di simmetria indica che i danni devono essere uguali, nulla distinguendo nel processo d’urto l’una vettura dall’altra.

Nel caso A arriviamo alla stessa conclusione se consideriamo che le deformazioni e le rotture su ciascuna vettura sono dovute alla forza impulsiva dovuta all’urto con l’altra vettura; il terzo principio della meccanica (il principio di azione e reazione) assicura che le interazioni fra le due vetture sono di uguale intensità, indipendentemente dallo stato di moto dell’una e dell’altra. Essendo per ipotesi le due vetture strutturalmente identiche e di uguale massa, ci dobbiamo aspettare che forze uguali producano uguali effetti, in particolare uguali deformazioni e rotture su ciascuna delle due vetture.