La congettura di Poincaré è stato uno dei problemi di topologia che più ha intrigato i matematici nel '900, e che è stata risolta solo recentemente (almeno pare che lo sia, ancora la sua soluzione è sotto l'esame della comunità matematica). 
La congettura richiede un certo linguaggio tecnico di topologia per essere espressa, cerchiamo qui di darne almeno un'idea. Per altre spiegazioni rimandiamo ad esempio ai siti dai quali questa risposta ha anche ripreso del materiale.

• Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Congettura_di_Poincar %C3%A9
• Polymath: http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/Poincare/nsfere.htm
  

La figura accanto illustra il concetto di oggetto “semplicamente connesso”:  la mela (o una sfera) è semplicemente connessa perché se mettiamo un elastico su di essa, lo possiamo contrarre facendolo scorrere sulla sua superficie fino a farlo divenire un punto. La ciambella (la figura che in geometria si chiama un “toro”) invece non è semplicemente connessa; i due elastici in figura non possono scorrere fino a contrarsi in un punto, il “buco” della ciambella lo impedisce.

L'essere semplicemente connesso oppure no è una fondamentale proprietà topologica di una figura; le superficie senza bordi e compatte, come la sfera ed il toro, si possono classificare anche rispetto a questa proprietà; inoltre si ha che se una superficie compatta e senza bordi è semplicemente connessa, allora è sostanzialmente una sfera, cioè esiste una sua deformazioneelastica (omeomorfismo) che la trasforma in una sfera, come avviene ad esempio per un cubo o una piramide (pensateli di gomma, se “gonfiati” divengono sfere). 

La domanda che si è posto il grande matematico francese Henri Poincaré (Nancy 1854, Parigi1912) è stata:

"Se la sfera è sostanzialmente l'unica superficie (compatta e senza bordo) ad essere semplicemente connessa (a meno di omeomorfismi), avviene lo stesso in dimensione 3.

La famosa Congettura di Poincaré consiste nell'affermazione che la risposta alla domanda è “sì”.

Vediamo di capire meglio i termini della domanda; le superficie sono oggetti di dimensione 2 dal punto di vista topologico, un oggetto di dimensione 3 ha la stessa dimensione del nostro spazio ambiente; per chi ha un po' di familiarità con la geometria analitica, una sfera di dimensione tre (o 3-sfera) in uno spazio a quattro dimensioni con coordinate  x, y, z, t sarebbe definito ad esempio all'equazione:

 x²+y²+z²+t²=1 .

La congettura di Poincaré ci dice che ogni oggetto (compatto e senza bordo) di dimensione tre che sia semplicemente connesso (cioè in cui si possa contrarre un elastico ad un punto) è in sostanza una 3-sfera (a meno di deformazioni elastiche, cioè di omeomorfismi).

Nel 2000 il Clay Mathematics Institute decise di includere la congettura di Poincaré tra i Problemi per il millennio e quindi di offrire un milione di dollari a chi l'avesse dimostrata. Questo premio evidenzia ulteriormente la portata della congettura di Poincaré, soprattutto ai fini pratici: tutti i problemi del Millenium Prize avrebbero immediate applicazioni, sia teoriche che tecnologiche. La congettura di Poincaré avrebbe ripercussioni sulle possibili topologie della teoria delle stringhe e delle varie altre teorie della gravitazione quantistica.

Sembra che la congettura di Poincaré possa essere il primo premio assegnato. Nell'aprile del 2002 un primo articolo di M.J.Dunwoody propose una prima dimostrazione, che tuttavia si rivelò errata.

Successivamente due articoli di Grigorij Jakovlevič Perel'man dell'Istituto Matematico di Steklov di San Pietroburgo sembrarono più promettenti. Nel primo, Perel'man dichiarò di aver dimostrato una congettura anche più generale. Nel 2003, pubblicò un secondo articolo, iniziando una serie di conferenze negli Stati Uniti. Nel 2004 le sue tecniche furono analizzate e crearono un notevole interesse, anche per alcuni collegamenti con argomenti di fisica teorica, e portarono a far credere il suo come il più serio attacco che la congettura di Poincaré avesse mai ricevuto.

Tra il 2003 e il 2006, vengono pubblicate o messe in rete alcune esposizioni dettagliate del lavoro di Perel'man, redatte da alcuni matematici: prima alcune note di Kleiner e Lott, quindi nella primavera del 2006 un articolo di Huai-Dong Cao e Xiping Zhu pubblicato nell'Asian Journal of Mathematics e un articolo di Morgan e Tian. I lavori di Perel'man vengono quindi riconosciuti dalla comunità matematica, ma il russo rifiuta sia la Medaglia Fields, il 22 agosto 2006, sia il premio Clay da un milione di dollari.