Nella tua domanda non specifichi se consideri una superficie immersa in R^3 oppure una varietà differenziabile astratta: nella risposta trovi una trattazione dettagliata del primo caso e poi le modifiche da fare per trattare il secondo.
Per capire meglio la situazione parti dal caso più semplice: quello del piano.
Nel sistema assiomatico di Hilbert, proposto alla fine dell'Ottocento per dare un corretto fondamento alla geometria euclidea, ha fondamentale importanza l'assioma delle parallele (noto anche come assioma di Playfair, un matematico scozzese vissuto tra il XVIII e il XIX secolo, che riprese l'assioma da Procolo Diadoco, un commentatore di Euclide vissuto nel V secolo DC).
Dati una retta r e un punto P fuori da essa esiste una e una sola retta passante per P e che non interseca r.
Quindi per ogni punto non appartenente ad r è possibile tracciare una e una sola parallela alla retta data, il che ti permette di "spostare" gli angoli da un punto P a un altro punto Q del piano. Puoi infatti pensare di avere sul piano il campo (costante) di vettori tangenti che hanno in ogni punto la direzione della retta data e congiungere i punti  P e Q con una curva. Ovviamente, essendo costante, il campo di vettori  tangenti ha derivata nulla.
Se vuoi fare la stessa cosa su una superficie immersa S in R^3 devi prima di tutto capire cosa vuol dire derivare un campo di vettori tangenti lungo una curva sulla superficie. Se hai un campo di vettori tangenti w consideri la sua  restrizione lungo la curva α e vedi questo come un'applicazione derivabile da un intervallo a valori in R^3; puoi quindi calcolare la derivata in un punto di tale applicazione. Si può dimostrare che proiettando la derivata sul piano tangente alla superficie il risultato non dipende dalla curva α ma soltanto dal vettore tangente ad α in quel punto.
Chiami tale quantità derivata covariante del campo di vettori lungo α e lo indichi con Dw/dt.
Scrivendo la formula in coordinate vedi che in essa compaiono i simboli di Christoffel; nel caso del piano prendendo la parametrizzazione in cui E=G=1 e F=0 ottieni che la derivata covariante non è altro che la derivata con cui sei abituato  a lavorare.
Grazie alla formula per la derivata covariante  di un campo di vettori, puoi verificare che quello che conta è solo il campo di vettori lungo la curva e quindi ti basta che il campo di vettori sia definito solo lungo la curva stessa e non su tutta la superficie.
Chiami parallelo un campo di vettori w lungo una curva α se Dw/dt=0; questo è coerente con  ciò che accade nel piano, dove i campi di vettori paralleli sono quelli la cui derivata è nulla e quindi sono costanti.
Il seguente risultato, che è sostanzialmente una conseguenza del teorema di esistenza e unicità per la soluzione del problema di Cauchy, ti permette di definire il trasporto parallelo: prendi α una curva in S passante per p e fissa un vettore w_0 tangente ad S in p. Allora esiste un unico w campo di vettori parallelo che in p coincide con w_0.
Sia w il campo di vettori dato dall'enunciato precedente: chiami  trasporto parallelo di w_0 lungo α nel punto t_1 il vettore w(α(t_1)). Si può dimostrare che il trasporto parallelo di un vettore lungo una curva regolare non dipende dalla parametrizzazione della curva, ma soltanto dal suo supporto.
In questo modo hai un'applicazione lineare tra gli spazi tangenti ad S nei punti p e α(t_1) e come conseguenza di una proposizione sui campi di vettori paralleli hai che questa applicazione è un'isometria. Hai allora la possibilitàdi "muovere" lo spazio tangente da un punto all'altro della superficie facendolo "scivolare" lungo  il tracciato della curva α.
Puoi inoltre notare che il trasporto parallelo di un vettore dipende soltanto dalla curva α, dagli spazi tangenti ad S lungo tale curva e dal vettore w_0 iniziale; quindi se due superfici S e Σ sono tangenti lungo una curva e w_0 appartiene allo spazio
tangente in p, allora il trasporto parallelo effettuato in S e quello effettuato in Σ coincidono.
Per generalizzare questo strumento nel caso di una varietà astratta hai bisogno di un  modo di definire la derivata covariante anche per una varietà qualsiasi. Se hai una varietà riemanniana, su di essa esiste una connessione canonica, che si chiama connessione di Levi-Civita, che ti permette di definire la derivata covariante da cui i campi di vettori paralleli e il concetto di trasporto parallelo. Le varietà riemanniane sono quelle su cui è definita una metrica, il che è sicuramente vero per le superfici immerse in R^3, che ereditano la metrica dallo spazio ambiente.