La domanda è  interessante, ma assolutamente non banale. La dimostrazione che cerchio e quadrato non sono equiscomponibili non è elementare, e, a mia conoscenza, la si può  trovare nel testo:

Amaldi U., Sulla teoria della equivalenza in Questioni riguardanti le matematiche elementari, raccolte e coordinate da Enriques F. parte I, Vol. II, Zanichelli, Bologna 1925, p.1.