Seguiamo pure l'ordine della domanda e partiamo dal concetto di di tempo immaginario, lasciando per dopo la metafora dei poli geografici e se sia appropriata all'ipotesi di condizione iniziale per il big bang cosiddetta "no boundary" di S. Hawking.
Innanzitutto chiariamo che il termine "immaginario" è usato in senso tecnico e non metaforico, e si riferisce al concetto matematico (formulato per la prima volta sul finire del XVI secolo) di numero immaginario, ovvero di radice quadrata di un numero negativo. L'apparenza di paradosso che ha la definizione di questi numeri — ma non esiste alcun numero che elevato al quadrato da un numero negativo! — viene superata pensando a essi come semplice strumento matematico, come una costruzione astratta non contraddittoria, utile sia per portare avanti conti altrimenti impossibili (come la soluzione generale alle eqazioni di terzo grado, l'ambito nel quale vennero storicamente introdotti) o comunque altrimenti difficili (come la risoluzione di molti circuiti elettrici a corrente alternata), e sia da utilizzare come base per altre costruzioni matematiche, ancora più astratte.⁽¹⁾ Resta il fatto, però, che i numeri immaginari (e i loro composti con i numeri reali, i numeri complessi) non possono essere usati per modellizzare delle osservabili, ovvero delle grandezze fisiche misurabili come appunto è il tempo: a queste non possiamo che associare dei valori reali, perché una misura fisica non rappresenta altro che il risultato di un rapporto fra la quantità fisica di un sistema che ci interessa conoscere, e una quantità a essa omogenea che abbiamo deciso di utilizzare come unità di misura.
Cosa può voler mai dire, allora, l'espressione "tempo immaginario"? Giocare col tempo immaginario non significa nient'altro che provare a sostituire alla variabile temporale, nella nostra teoria e in particolare nelle sue equazioni, un numero immaginario, con l'idea che possa scaturirne qualcosa di interessante per le grandezze reali a cui, alla fine, siamo interessati.

E di fatto quel che succede ha dello straordinario: sostituendo valori immaginari alle variabili temporali in tutto il formalismo matematico della meccanica quantistica ci si ritrova precisamente con tutto il formalismo matematico della meccanica statistica. In particolare, tutte le formule della meccanica quantistica che fanno riferimento al tempo possono essere lette come formule di meccanica statistica che fanno riferimento alla temperatura. Questo significa che, ad esempio, per calcolare la probabilità di transizione quantistica fra due possibili stati, si può procedere studiando le proprietà statistiche del sistema termodinamico a una temperatura corrispondente al tempo immaginario.

Ora, per tornare ad Hawking, questo "trucco" è proprio quello che lo scienziato inglese ha usato per supportare matematicamente la sua ipotesi sulla condizione iniziale "senza bordo" dell'Universo.

Usando le leggi della fisica note per risalire indietro nel tempo, si giunge inevitabilmente ad una singolarità iniziale in cui, per definizione, non possiamo più applicare le leggi che conosciamo. L'idea di Hawking, a questo punto, è quella di tener conto degli effetti quantistici che inevitabilmente entrano in gioco in quelle condizioni, utilizzando le tecniche standard di Feynmann dell'integrale sui cammini con tempo immaginario (euclidean path integral) per calcolare la probabilità di transizione dallo stato di universo primordiale a quello che osserviamo oggi. In particolare l'espressione "condizione iniziale senza bordo" ("no boundary initial condition") fa riferimento al procedimento suggerito da Hawking di imporre come condizioni al contorno di questo calcolo solo quelle che vincolano l'Universo a evolvere verso uno stato simile a quello che osserviamo oggi, senza, cioè, imporre condizioni al contorno ("boundary") anche per le condizioni iniziali al momento del big bang.
In tutto ciò, quindi, trovo la metafora dei poli geografici piuttosto inappropriata, nonostante venga effettivamente usata molto spesso, in contesti divulgativi, anche per descrivere l'ipotesi di Hawking. I numeri immaginari sono, in questo contesto, uno strumento di calcolo essenziale, ma non rappresentano una diversa parametrizzazione geometrica del tempo. Anche la circostanza per cui solitamente si rappresentano i numeri immaginari sul piano di Argand-Gauss lungo un asse ortogonale a quello dei numeri reali è, in questo contesto, un mero accidente⁽²⁾. Passando attraverso lo strumento del tempo immaginario si sospende temporaneamente ogni significato fisico e si procede in maniera del tutto astratta (al massimo seguendo, come detto, un'interpretazione statistica) per recuperare il significato fisico solo al termine del calcolo in termini di probabilità di transizione. Il significato fisico dell'ipotesi di Hawking è che avvicinandosi alla singolarità del big bang entrerebbero in gioco effetti quantistici simili a quelli dell'effetto tunnel (istantoni), capaci di far emergere il nostro universo "dal nulla", come fluttuazione del vuoto. I concetti di tempo e di spazio perderebbero molte delle loro caratteristiche tipiche per effetti di interferenza quantistica, non certo per una qualche ridefinizione geometrica legata ad una nuova dimensione ortogonale parametrizzata dal tempo immaginario. Quelle condizioni, cioè, sarebbero vicine alla metafora della "schiuma quantistica" (quantum foam) più che a quella di una singolarità di coordinate.

Al contrario la metafora dei poli geografici coglie nel segno quando si vuole spiegare la differenza fra una singolarità fisica e una singolarità, appunto, di coordinate. Attorno ad un buco nero, ad esempio, la superficie chiamata "orizzonte degli eventi" rappresenta una singolarità di coordinate: in essa la metrica dello spaziotempo risulta mal definita solo se si adottano coordinate sferiche (apparentemente le più naturali). È possibile dimostrare, però, che tale singolarità è eliminabile semplicemente cambiando coordinate, proprio com'è possibile realizzare una mappa di ciascun polo geografico in maniera da non fargli toccare il "bordo" del nostro planisfero. Al contrario, si può dimostrare che la singolarità che si ha al centro del buco nero non è eliminabile con nessun cambio di coordinate: è come se ci trovassimo di fronte a un cono, invece di una sfera: nel vertice succede davvero qualcosa di anomalo che non succede da nessun altra parte della superficie conica. Tra parentesi, il riconoscimento, in relatività generale, di effetti non fisici dovuti a scelte "sbagliate" e puramente convenzionali di coordinate non è sempre immediato. Quando furono descritte per la prima volta le onde gravitazionali, ad esempio, non era affatto chiaro se si trattasse di un semplice effetto di coordinate o rappresentassero un effetto fisico reale.

(1)

Si potrebbe filosofeggiare a lungo sul fatto che anche i numeri reali, che pure ci paiono così comuni e semplici, sono in realtà una costruzione altrettanto astratta e sofisticata: i matematici definiscono i numeri reali in termini di sezioni di Dedekind o di successioni di Cauchy, e molte loro proprietà non sono "ben definite", ma dipendono dalla "libera scelta" di considerare vere o false alcune proposizioni indecidibili (nel senso del teorema di Goedel) da includere fra gli assiomi fondamentali... della teoria degli insiemi! Si potrebbe filosofeggiare a lungo, si diceva, ma è sufficiente un approccio pragmatico per cogliere comunque la differenza significativa, e cruciale per quel che riguarda questa risposta, di cui si parla.

(2)

In meccanica quantistica, ad esempio, l'interpretazione dei vettori di stato come raggi di uno spazio di Hilbert suggerisce una rappresentazione per i numeri complessi in termini di modulo e fase oscillante...