Nel III secolo a.C Euclide cercava di dare una sistemazione rigorosa alla geometria, introducendo i suoi cinque postulati. Eccoli.
"Da ogni punto per ogni altro punto è possibile condurre una linea retta".
"Un segmento di retta può essere indefinitamente prolungato per diritto".
"Da qualunque centro con qualunque raggio si può condurre una circonferenza".

Tutti gli angoli retti sono uguali".
Ora sentiamo il quinto: “ogni volta che una retta, intersecando altre due rette, forma con esse angoli coniugati interni la cui somma è minore di due retti, queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l'incontrarsi da quella parte in cui gli angoli coniugati interni formano insieme meno di due retti”.
Salta subito agli occhi una complessità differente fra i primi quattro postulati e il quinto. Per questo motivo, fino alle soglie del secolo XIX, il problema che i matematici si sono posti è il seguente: dimostrare il quinto postulato a partire dai primi quattro. Per ottenere una semplificazione concettuale della geometria e fondare tutto su quattro postulati soltanto.

Fra questi tentativi di dimostrazione il più notevole è quello di Padre Saccheri, operante all’inizio del Settecento, il quale procede mediante la dimostrazione per assurdo: è noto infatti alla logica matematica che da una proposizione falsa si può dedurre qualsiasi proposizione. Spiego meglio: la dimostrazione per assurdo è quel tipo di procedimento logico per cui si nega la tesi, e si mostra come, negandola, si arriva alla negazione dell’ipotesi medesima, in palese contraddizione con l’assunto originario.
Che cosa fa Saccheri? Saccheri parte dal quadrilatero birettangolo isoscele, cioè un quadrilatero ABCD, dove i lati AC e BD sono uguali, e gli angoli in A e in B sono retti, e cerca di dimostrare che l'angolo in C è uguale a quello in D.

C                                            D
                                                                                                 


                                 
 

A                                            B

Vi riesce facilmente. Dimostrato che quegli angoli sono uguali, dal punto di vista logico abbiamo tre possibilità: C e D possono essere angoli uguali e retti, oppure angoli uguali e minori di un angolo retto, oppure ancora uguali e maggiori di un angolo retto. Quelle che lui ha chiamato l'ipotesi dell'angolo retto, l'ipotesi dell'angolo ottuso, e l'ipotesi dell'angolo acuto. In concreto ci sarebbero anche triangoli fatti così:

Saccheri ammette che una retta abbia lunghezza infinita, ed elimina l’ipotesi dell’angolo ottuso. Invece l’ipotesi dell’angolo acuto lo affatica a lungo, finché, con cieca fiducia in Euclide, il grande matematico cade in errore e dice che: “l’ipotesi dell’angolo acuto è assolutamente falsa, perché ripugna alla natura della linea retta”. E rinnega tutto. Come mostreranno successivamente i critici, il suo sottile errore logico è stato invece quello di estendere all’infinito proprietà valide solo a distanza finita.

Veniamo a uno scienziato russo, a Lobacevskij cioè, nella prima metà del secolo XIX. Il primo dubbio gli viene proprio dal fatto che sembra impossibile dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri. Ma allora forse quel postulato non dipende dai primi quattro.

Lobacevskij allora sviluppa la geometria assoluta, cioè quella che riesce a fare a meno del quinto postulato di Euclide. Così facendo, non utilizza teoremi famosi, quali il teorema di Pitagora. E confronta i risultati ottenuti nella geometria piana e in quella sferica: come la retta è, sul piano, il percorso più breve fra due punti, così su una superficie sferica, il percorso più breve fra due punti sarà la geodetica. Insomma, quello che ripugna alla nostra intuizione è ammettere una curvatura dello spazio su cui si opera.

Ma se noi, ad esempio, immaginiamo di vivere su di un asteroide, in particolare su B 612, allora le cose cambiano. B 612 è l’asteroide da cui proviene il Piccolo Principe di Saint-Exupéry. Come vedremmo in quell’asteroide la natura intorno a noi? Come sarebbero sull’asteroide i triangoli, i quadrati, e gli angoli interni a essi? Proviamo un po’ a pensarci... I lati dei quadrati sarebbero tutt’altro che rettilinei. Non ci verrebbe neppure in mente di attribuire alla parola “retta” il significato che comunemente le diamo. E ancora, sulla superficie dell’asteroide un segmento di retta non si potrebbe affatto prolungare indefinitamente per diritto. Finirebbe per tornare al punto di partenza...
Lobacevskij fa rientrare la geometria nel campo delle scienze sperimentali. Afferma che “lo spazio in sé, separatamente, per noi non esiste. Talune forze nella natura seguono una geometria, tali altre una loro altra particolare geometria”. E sottolinea il fatto che una nuova geometria implica una nuova fisica e una nuova meccanica.
Oltre al piano (superficie a curvatura costante nulla) e alla sfera (superficie a curvatura costante positiva) esistono superfici a curvatura costante negativa (pseudosfere) su cui si applica la geometria non-euclidea.
Su di una superficie sferica il rapporto tra una circonferenza e il suo diametro è minore di 180°: dobbiamo ricordarci che non è il diametro interno alla sfera, ma il diametro “curvo”. Ogni circonferenza massima ha un diametro sulla superficie sferica che è uguale a metà della circonferenza stessa. E la somma degli angoli interni di un triangolo sulla superficie sferica è maggiore di 180°.
Tutto quel che abbiamo detto finora ha senso logico su una sfera se e solo se per “retta” si intende “circonferenza massima” e allora un segmento di retta non può più essere prolungato indefinitamente per diritto, perché finisce per tornare al punto di partenza... Quindi la geometria sferica farà a meno di ben due dei cinque postulati di Euclide!

E questo ci porta ancora all’importanza della semantica. E si spiega come, all’interno di una teoria, debbano sempre figurare gli assiomi semantici, che propongono quale significato fisico si debba attribuire ai concetti primitivi. Così si ha un aggancio preciso con la realtà. Altrimenti si rischia, come nel caso delle geometrie euclidea e non euclidea, di passare secoli credendo che una certa parola volesse dire una cosa sola, mentre ne può voler dire almeno tre.

Riguardo al motivo per cui Saccheri abbia scoperto molti importanti teoremi di geometria non-euclidea, ma alla fine della propria vita abbia rinnegato tutto, scrivendo "Euclides ab omni naevo vindicatus" questo non lo sa nessuno.
 
Per maggiori informazioni:
1) Girolamo Saccheri, Euclide vendicato da ogni macchia, Bompiani, Milano 2001, per la parte tecnica
2)  Maria Rosa Menzio, Padre Saccheri, in Spazio, tempo, numeri e stelle, Bollati Boringhieri, Torino 2005, per quella drammaturgica