Il lettore più che una domanda solleva una questione profonda e controversa per la quale non c’è una risposta univoca. Certamente quando studiamo un qualunque argomento, nel suo caso la logica, non partiamo nudi e senza strumenti. L’induzione è la tecnica  più evidente, ma altre conoscenze sommerse sono necessarie, ad esempio le proprietà  della concatenazione di stringhe. Il lettore  conosce il principio di induzione (sul quale tra l’altro nel sito  già si è risposto tempo fa), ma chiede come facciamo a sapere che è vero – vero dei numeri che abbiamo imparato da bambini, prima dello studio formale.

Non lo sappiamo. Le prime esperienze con i numeri (naturali) riguardano numeri piccoli, e comunque un numero finito di questi. Tuttavia noi ci convinciamo di alcune proprietà che valgono per tutti i numeri, ad esempio  m + n = n + m, o la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Ne riconosciamo la validità in base a una varietà di argomenti, visivi, geometrici, fisici, empirici, che sui singoli esempi concreti con i quali abbiamo a che fare hanno la massima affidabilità ed evidenza. Tuttavia  queste proprietà generali, per tutti i numeri,  si dimostrano solo con il principio di induzione. Il principio di induzione presuppone o comporta implicitamente il riconoscimento dell’intero insieme infinito di tutti i numeri naturali.

Un problema analogo si pose a David Hilbert (1862-1943) quando voleva dimostrare la non contraddittorietà dell’aritmetica dell’infinito con strumenti che non presupponessero l’infinito; non parlava  dei numeri dei bambini,  bensì di metodi finitisti, ma era la stessa cosa, e ancora si discute su come si possano caratterizzare questi metodi e la loro potenza, anche se è stato dimostrato da Gödel che, comunque generosamente li si intenda, non sono sufficienti a giustificare l’infinito.

Il principio di induzione afferma invero, come si esprime il lettore, che ogni numero può essere raggiunto da 1 per aggiunzioni successive di 1, ma l’iterazione del successore, o del +1, va intesa “un numero finito di volte”. Altrimenti se si itera un numero infinito di volte si passa nel transfinito,  generando gli ordinali di Cantor. “Un numero finito di volte” presuppone che si sappia cosa sono i numeri naturali. Il concetto di numero e il concetto di iterazione finita  sono equivalenti, o intrecciati in modo inestricabile; è possibile sostenere che quest’ultimo concetto è più fondamentale, e viene psicologicamente prima nell’apprendimento del numero.

Abbiamo dunque una circolarità, che non è un dramma. Tutte le nostre conoscenze di base comportano circolarità, pena il regresso all’infinito. Il principio di induzione, senza una giustificazione logica, è stato usato per più di 2500 anni, soprattutto nella forma equivalente che afferma che ogni catena discendente di numeri ha termine (in un numero “finito” di passi). Nel 1888 Richard Dedekind (1831-1916)  ha spiegato infine come l’unico modo per definire i numeri finiti, o il concetto di iterazione finita, sia quello di presupporre l’infinito: non si parte dai singoli numeri piccoli dell’esperienza, ma dall’insieme totale dei numeri.

Il suo argomento non è difficile da esporre e si può dare a parole, qui sotto per chi vuole seguirlo. Si definisce prima un insieme come infinito se esiste una applicazione iniettiva (o 1-1) dell’insieme in se stesso che non lo ricopre tutto, quindi qualche elemento non è nell’immagine dell’applicazione (che gli insiemi che i bambini considerano finiti non soddisfino questa condizione è facile da verificare: è la situazione  per cui  in un numero n di cassetti non si possono distribuire m > n oggetti mettendo oggetti diversi in cassetti diversi). Chiamiamo 1 uno di questi e chiamiamo  successore  l’applicazione, per cui 1 non è il successore di alcun numero (dopo  si vedrà che il successore  equivale al  +1). Ammesso che esista un insieme infinito X (Dedekind  e altri speravano di dimostrarne l’esistenza, poi si è capito che lo si doveva assumere come un assioma fondamentale della matematica), prendiamo quindi il più piccolo sottoinsieme di X che contiene 1 ed è chiuso rispetto all’applicazione successore (cioè se x appartiene al sottoinsieme anche s(x) vi appartiene); questo più piccolo sottoinsieme si ottiene matematicamente facendo l’intersezione di tutti quelli con tali proprietà. Ebbene questa intersezione sia per definizione l’insieme N dei numeri naturali.  Il principio di induzione allora è una conseguenza immediata: se un insieme di numeri contiene 1 ed è chiuso rispetto al successore, allora esso contiene tutti i numeri. Infatti l’insieme è uno di quelli di cui N è l’intersezione, quindi N è contenuto in esso.

In conclusione, noi sappiamo che il principio di induzione è vero per definizione: esso è un teorema se si vuole, in realtà un immediato corollario della definizione dei numeri. Ma questa definizione ha senso solo se si capisce e si accetta il concetto di infinito.