Ciao Alfonso, quello che cerchi non esiste esattamente: esistono cose che gli assomigliano.
Andiamo per ordine. I matematici esprimono con π(n) il numero di primi inferiori a n. Attenzione: il simbolo π qui non ha nulla a che vedere con il numero irrazionale che inizia con 3,14. Qui vale proprio come la lettera p, iniziale di primo.
Calcoliamoci π(100) "a mano", contando fino a 100 e prendendo nota dei primi che si incontrano: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Totale 25, ovvero π(100)=25.
Tu vorresti un qualche calcolo - semplice o complicatissimo - che dia π(n) senza doverlo fare "a mano".
Ad oggi non si è trovata nessuna regolarità così forte nella distribuzione dei numeri primi. Anzi: molti sono i problemi matematici ancora aperti che hanno proprio a che fare con la distribuzionde dei numeri primi.
Non esiste quindi una formula per trovare π(n) direttamente.
Se però anziché farlo "a mano" lo si fa fare "a mano" a un computer, si risparmia perlomeno la fatica. La domanda successiva è quindi quale procedura "a mano" fatta fare a un computer permette di avere π(n) nel minor tempo. Nel 2001 quindici computer hanno lavorato per 132 giorni prima di affermare che π(4×10²²) = 783.964.159.847.056.303.858. Attualmente il numero più alto del quale sia stato calcolato con precisione il valore di π è 10²³.
Per numeri più grandi esistono soltanto modi per avere valori approssimativi, e un teorema, noto semplicemente come teorema dei numeri primi, che afferma che al crescere di n il rapporto tra π(n)ln(n) e n tende a 1. Questo però non permette di trarre conclusioni sul valore preciso di π(n).