Il Teorema di Tolomeo afferma che, comunque assegnati quattro punti distinti e consecutivi A, B, C, D su una circonferenza, vale la seguente identità tra lunghezze:

AB· CD + AD· BC = AC ·BD                        (1) 

In altri termini, per ogni quadrilatero inscritto in una circonferenza (quadrilatero ciclico), la somma dei prodotti delle lunghezze dei lati opposti è uguale al prodotto delle lunghezze delle diagonali. Se il quadrilatero non è ciclico, la (1) è sostituita da una disuguaglianza:

AB· CD + AD· BC = AC ·BD                        (2)

La (1) caratterizza quindi i quadrilateri ABCD che sono inscrivibili in una circonferenza. Tra questi vi sono tutti i rettangoli; come ben noto, questi hanno i lati opposti uguali ed uguali anche le diagonali, che si bisecano a vicenda. Ogni rettangolo è inscritto nella circonferenza avente come centro il punto d'intersezione delle diagonali e passante per uno dei vertici; infatti questa, per evidenti ragioni di simmetria, passa anche per tutti gli altri vertici. Nel caso particolare in cui ABCD è un rettangolo, posto , a = AB = CD, b = AD = BC, c = AC = BD, la (1) assume la forma

a²  + b² = c²

che è l'enunciato del Teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo ABC (o BCD o CDA o DAB).

La dimostrazione citata dal lettore è quella originale dell'astronomo alessandrino Claudio Tolomeo (II secolo d. C.), ed è basata sulle proprietà dei triangoli simili. Essa è contenuta nel Capitolo IX del Libro I del suo trattato intitolato Composizione Matematica, più noto come Almagesto. Lo si può consultare in rete nella versione francese di Nicolas B. Halma, con testo greco a fronte, sul sito della Bibliothèque Nationale di Parigi, al seguente indirizzo:

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39710.

Il Teorema di Tolomeo si trova alle pagine 29 e 30 del documento. In internet sono presenti altre dimostrazioni "moderne", che, però, non si discostano, nella sostanza, da quella tolemaica, poiché si limitano a tradurre quest'ultima nel linguaggio della trigonometria piana o dei numeri complessi, con passaggi algebrici più o meno complicati. Esse partono dall'osservazione che, nel piano cartesiano, ogni punto della circonferenza unitaria di centro l'origine ha coordinate della forma (cos x, sin x) e queste, nel piano di Gauss, corrispondono al numero complesso cos x + i sin x rappresentabile anche come e^ix dove i è l'unità immaginaria ed e il numero di Nepero.