Ciao Michele, ecco le risposte una a una.

1. Sì, per ogni insieme, finito o infinito che sia, esiste una relazione d'ordine.

Una relazione in un insieme può essere rappresentata come una serie di frecce che partono da elementi dell'insieme e che arrivano a elementi dell'insieme. Per rendere la cosa più chiara, immaginiamo che gli elementi dell'insieme siano città e le frecce voli aerei che collegano le varie città. Tra tutte le possibili mappe di collegamenti alcune godono delle seguenti proprietà:

a) per ogni città c'è un volo panoramico che parte da lì e lì riatterra (riflessività);
b) non esistono tratte con voli andata-ritorno (antisimmetria);
c) non è mai necessario fare scali, ovvero ogni città raggiungibile mediante scali intermedi è raggiungibile anche con un volo diretto (transitività).

Le mappe di collegamenti che rispettano tutte e tre queste proprietà sono le relazioni d'ordine.

Prendiamo ora un insieme qualsiasi di città e consideriamo come mappa dei collegamenti i soli voli che partono e atterrano sulla stessa città, ovvero tutti e soli quelli resi obbligatori dalla proprietà di riflessività. Con questi voli vengono rispettate in maniera molto semplice anche le altre due proprietà.

In altre parole, per ogni insieme esiste una relazione d'ordine, che è l'uguaglianza.

2. Sì, per ogni insieme, finito o infinito che sia, esiste una relazione di buon ordine.

Che differenza c'è tra un ordine e un buon ordine? Un buon ordine prevede, oltre alle tre proprietà già viste, altre due caratteristiche:

d) tra due città qualsiasi c'è sempre un volo (ordine totale);
e) in ogni sottoinsieme non vuoto di città ce n'è una che non è raggiungibile dalle altre del sottoinsieme (esistenza del minimo).

La mappa di voli considerata prima non verifica la proprietà d, e quindi non è un buon ordine. Con le due nuove proprietà diventa molto più difficile rispondere alla tua domanda, tanto che è necessario scomodare il cosiddetto assioma di scelta. Come tutti gli assiomi, l'assioma di scelta non è dimostrabile, e se ne accetta l'enunciato senza poter ricorrere a dimostrazioni. (Sottovoce va detto che esistono delle matematiche costruite prendendo per falso l'assioma di scelta, ma la faccenda si complica ancora di più e quindi la lasciamo intrappolata in queste parentesi tonde).

Seppur non sia semplice come prima trovare una mappa di voli soddisfacente, il teorema del buon ordine dimostra che è sempre possibile trovarla.

In altre parole, per ogni insieme esiste una relazione di buon ordine.

E infine...

3. (forse per il suo livello di serietà è la zero): un insieme è ordinabile se e solo se c'è nel menù.