L’equazione delle onde o meglio le equazioni delle onde (del mare) appartengono alla vasta famiglia delle equazioni d’onda formulate sotto forma di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE).

Questo tipo di equazioni descrive fenomeni che si riscontrano in diversi campi dell’acustica, ottica, e fluidodinamica. Si parla di equazione d’onda anche nella meccanica quantistica quando si dà alla soluzione un significato probabilistico, ma questo argomento ci porterebbe lontano e non verrà qui trattato.

Qualitativamente la potenza delle PDE sta nel definire alcune caratteristiche che le funzioni soluzione debbono soddisfare. Queste caratteristiche sono le pendenze (cioè derivate), i valori da cui si parte e quelli assegnati ai limiti del dominio entro cui le equazioni vengono risolte. L’enorme varietà di soluzioni che abbiamo dal punto di vista matematico (con tutte le semplificazioni del caso) viene quindi ricondotta ad un numero molto limitato di PDE: saranno poi le condizioni iniziali e quelle al contorno a identificare quale saranno le soluzioni per lo specifico problema da affrontare.

Esistono due tipi di equazioni fondamentalmente diversi nell’approccio: uno che descrive le onde lunghe rispetto alla profondità media del bacino (equazione di acqua bassa), l’altro che descrive invece le onde brevi. Alle onde lunghe appartengono per esempio. le maree e le sesse (le oscillazioni libere di bacino) alle seconde le onde superficiali. Queste ultime sono quelle che vengono percepite comunemente, per questo le tratteremo con più dettaglio nel seguito.

Per quel che riguarda le onde brevi, l’approccio tradizionale è stato sempre quello di descrivere il movimento del livello marino (l’interfaccia tra i due fluidi, aria ed acqua) e la traiettoria di una generica particella d’acqua sottoposta a una variazione periodica del livello attraverso la manipolazione delle equazioni dell’idrodinamica cui sono state imposte opportune condizioni al contorno (le cosiddette condizioni cinematiche, che definiscono la posizione di una particella d’acqua sulla superficie del mare). Nel caso più semplice, ed idealizzato otteniamo l’equazione d’onda di Airy; la soluzione mostra che la superficie evolve come una sinusoide che si propaga, mentre le particelle d’acqua descrivono cerchi il cui raggio diminuisce all’allontanarsi dalla superficie. Questo equazione mostra una chiara propagazione dell’energia mentre non vi è, in questo caso ideale, alcun trasporto medio di massa, cioè la particella sostanzialmente non si muove, ritornando sempre al punto di partenza. Aggiungendo i termini non lineari, Stokes ha trovato soluzioni ulteriori che affinandosi aggiungono ulteriori particolari alla rappresentazione, e si avvicinano alla forma della trocoide (curva periodica disegnata nel tempo da un generico punto sottoposta a rotazione).

Il moto ondoso che realmente possiamo sperimentare è simile a quanto descritto finora nel caso delle cosiddette onde di mare lungo (swell in inglese) Le onde di mare lungo diventano più regolari man mano che si allontanano dalla zona dove sono state originate. Il più delle volte non si frangono dato che il vento che le ha originate spesso non soffia più ed hanno frequenza e direzione ben definita.

Diverso il caso delle onde che si stanno formando in presenza di vento: queste onde vanno sotto il nome d’onde di mare vivo, sono ‘nervose’, e non uniformi in periodo, altezza e direzione. Per questo motivo si predilige descrivere le onde non attraverso la descrizione del moto ondoso come somma di onde di differente lunghezza d’onda, quanto piuttosto attraverso la descrizione statistica dei parametri che caratterizzano lo stato del mare (altezza media, altezza caratteristica (media del terzo superiore dell’istogramma delle ampiezze), periodo medio, etc. calcolati su un intervallo in cui si suppone che queste grandezze non varino) che possono essere ricollegate alla distribuzione spettrale (e direzionale) di energia. Questo tipo di approccio è quello poi più adatto alle applicazioni concrete in quanto esistono metodi numerici per prevedere e propagare le informazioni nelle aree di maggior interesse applicativo anche in zona costiera.

Esistono poi onde di altro tipo come quelle generate dagli tsunami o dalla risalita della marea lungo alcuni grandi fiumi (famosa la pororoca del Rio delle Amazzoni) la cui velocità di propagazione è teoricamente legata alla sola profondità del livello. Vengono chiamate onde solitarie perché non formano treni di onde ma si muovono praticamente isolate.

Onde periodiche non-lineari sono i solitoni, molto simili ad onde solitarie ma raggruppate in treni formati da un numero limitato di creste più una coda che tende a smorzarsi con l’andar del tempo. I solitoni sono ottenuti come soluzione di una PDE non lineare che va sotto il nome di equazione di Korteveg- DeVries. Esempi sorprendenti di queste onde vengono rivelati dai satelliti in prossimità di alcuni stretti dove la marea aggiunge forza all'innescarsi di queste oscillazioni (un bel documento della ONR in inglese contiene alcune delle migliori foto da satellite di solitoni in corrispondenza allo Stretto di Gibilterra,  http://www.internalwaveatlas.com/Atlas_PDF/IWAtlas_Pg099_StraitGibraltar.PDF)  

Quanto detto finora finora è valido quando il fondale non interagisce con la propagazione dell’onda stessa e quindi in mare aperto: in zona costiera le cose diventano più complesse e la trattazione analitica praticamente impossibile. E’ esperienza comune vedere come all’approssimarsi alla costa delle onde provenienti da mare aperto, si formino i frangenti che assumono forme molto differenti rispetto al quella delle onde di profilo genericamente ottenibile come composizione di sinusoidi tipico del mare profondo.

L’argomento è vastissimo e ulteriori argomenti derivabili dalle equazioni (velocità di propagazione, onde lunghe, effetti della rotazione terreste, etc) necessiterebbero ulteriori approfondimenti. Per il lettore interessato e dotato di conoscenza di analisi matematica suggerisco un testo classico in italiano dove trovare trattati formalmente queste equazioniè il volume: F. Mosetti. Fondamenti di Oceanologia e Idrologia, UTET, 1979