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La massa relativistica tende ovviamente all’infinito al tendere di v a c, velocità della luce nel vuoto. Introdurre questa nozione è certamente lecito, ma scarsamente significativo, non necessario e ridondante.

Cominciamo col ricordare che, tradizionalmente, si usa l’espressione “massa inerziale”, o talvolta “inerzia”, per denotare il rapporto tra forza e accelerazione. Ora, quando le velocità in gioco diventano confrontabili con c, si verifica che questo rapporto vale m_r solo nel caso di forse agenti perpendicolarmente alla direzione di propagazione (es.: deviazione di elettroni in un tubo catodico); nel caso di forze agenti parallelamente ad essa quel rapporto diventa

 .

La massa relativistica non esprime quindi in generale la nozione fisicamente significativa di massa inerziale.(nota 1) Già questo fa dubitare circa la rilevanza della nozione. A ciò si potrà aggiungere che, mentre è ovviamente sempre possibile introdurre m_r come notazione, è altrettanto vero che nulla cambia se non lo si fa: alla fine i risultati sono formalmente gli stessi. Vedremo subito un’altro motivo, e decisivo, che sottolinea la ridondanza del concetto di “massa relativistica” e che ci fa optare per la la sua pura e semplice espunzione (nota 2). Ricordiamo l’espressione per l’energia relativistica di un punto materiale di massa m:

Si vede da essa come E e m_r non siano che espressioni diversamente dimensionate per la stessa quantità fisica. Può essere opportuno a questo proposito richiamarsi ad un esempio ben noto e, si suppone, assimilato: quello riguardante la sostituzione che si compie all’atto di introdurre i diagrammi di Minkowski, della coordinata temporale t con la coordinata x⁰. Quest’ultima ha dimensione fisica diversa da quella di t, ma nessuno si sognerebbe di pensare, per questo motivo, a x⁰come ad una grandezza fisica distinta da t! Nel nostro caso, c compare alla seconda potenza nella relazione, ma questo non può evidentemente introdurre una differenza di principio rispetto al caso precedente.

Può sorgere a questo punto una perplessità, che dà vita a una domanda: ma come, la formula più famosa della fisica non sarebbe che una tautologia? La risposta nasce dalla considerazione che la formula davvero significativa non è la E=m_rc², bensì la

E₀ = mc²,

in quanto attribuisce un’energia ad un corpo per il solo fatto che esso ha una massa. Naturalmente la rilevanza della nozione dell’“energia di riposo” E₀ nasce dal fatto che essa può trasformarsi (e lo fa in miriadi di circostanze sperimentali e tecnologiche) in “energia di movimento”.

Grandezze certamente significative sono l’energia E e la quantità di moto p, di modulo

(esse formano un quadrivettore, un ente che ha pieno diritto di cittadinanza in RR; la sua norma è determinata dalla massa m, che è un invariante; non lo è invece la massa relativistica). E non c’è alcun dubbio che le loro espressioni tendono all’infinito al tendere della velocità a c. Quanto detto finora ha solo il senso e lo scopo di sostituire queste quantità, con quella caratteristica, alla massa relativistica. Il discorso da dirimere rimane sostanzialmente lo stesso.

Dedurre dal fatto che le espressioni per E e p tendono all’infinito al tendere della velocità a c “il motivo per cui la teoria della relatività ristretta dice che non è possibile superare, o anche solo raggiungere, la velocità della luce”? Il verbo usato non sembra appropriato: quelle espressioni sono inferite dalle basi della teoria, in particolare dall’assunto che c sia velocità limite. In altre parole, semplificando un tantino, non è che si parte dalle formule che esprimono E e p per concludere che c deve essere velocità limite, ma è dal fatto che c è velocità limite che si deducono quelle formule. Tanto per articolare un po’ il discorso, se c è velocità limite non può valere la legge fondamentale della dinamica nella forma newtoniana, dato che essa prevede un aumento indefinito della velocità all’aumentare indefinito del lavoro che si compie su di un corpo. Può valere (e si prova valere) una legge in cui l’espressione newtoniana della quantità di moto è sostituita da quella data nella (2). Il discorso è un tantino più complicato per l’energia ma è sostanzialmente omogeneo a quello fatto per la quantità di moto.

Nell’ennesimo tentativo, ormai provato vano da una lunga esperienza, di cercare di rimettere coi piedi per terra un capitolo della fisica che, a distanza di un secolo, continua ad essere visto come diverso in quanto frutto di più o meno vaghe speculazioni parafilosofiche, aggiungo che l’essere c velocità limite non è più un postulato ma da svariati decenni un fatto sperimentale.

Provo a riproporre la domanda: “la luce ha massa infinita?’’. In questi termini (e spero che chi ha posto il quesito avesse più o meno in mente questo): “I fotoni, la controparte corpuscolare della radiazione elettromagnetica nella concezione quantistica, hanno massa infinita?” La risposta è: no, hanno massa nulla. Vediamo di chiarire di che massa parliamo e come un oggetto possa avere energia e quantità di moto eppure, appunto massa nulla. Ritorniamo, allo scopo, alle formule (1) e (2). I fotoni – in quanto luce – viaggiano proprio alla velocità c, e, secondo quelle formule, dovrebbero avere non massa infinita, ma energia e quantità di moto infinite. A meno che ... A meno che non ci si dica: quelle formule perdono di senso al tendere di v a c, proprio perché le espressioni per E e p tendono allora all’infinito; e peraltro si osservi: il rapporto fra p ed E però non perde di senso in quel limite. Esso infatti vale

e quindi, al tendere di v a c, si ha

Verifichiamo poi che, dalle espressioni (1) e (2) segue l’identità

Essa sostituisce la relazione newtoniana fra energia cinetica e quantita di moto. Osserviamo, per inciso, che il primo membro è formalmente la norma quadrata del quadrivettore energia-impulso, cui abbiamo accennato sopra (e si noterà che, come anticipato, essa è determinata dalla massa m).

Le (3) e (4) valgono anche se v=c. In questo caso, peraltro, la (3) assume la forma (3’); quanto alla (4), vediamo subito che il suo primo membro, se vi sostituiamo l’espressione per E/c ottenuta dalla (3’), si annulla identicamente. Le (3) e (4) possono allora restare valide per oggetti che viaggiano alla velocità c solo se si annulla anche il secondo membro della (4), cioè solo se quegli oggetti hanno massa (newtoniana) nulla.

Sottolineando, ancora una volta, che la fisica è una scienza sperimentale, e richiamato che i fotoni controparte corpuscolare di una radiazione elettromagnetica monocromatica di frequenza ν hanno un’energia hv (h è la costante di Planck), e quindi, secondo la (3’), una quantità di moto hv/c (beninteso una grandezza vettoriale: hv/c ne è solo il modulo), ricordo che l’applicazione delle leggi di conservazione relativistiche dell’energia e della quantità di moto alla collisione fotone-elettrone, con le specifiche ricordate per quanto riguarda il fotone, si sono mostrate in accordo – fino dal 1923 piuttosto preciso – con la legge sperimentalmente stabilita per la variazione con l’angolo della lunghezza della radiazione diffusa nell’effetto Compton.

E il tempo? La cinematica della RR prevede questo effetto: se un orologio resta fermo in un punto dato di un sistema di riferimento inerziale e un altro ne parte e vi fa ritorno, si deve verificare, effetti gravitazionali a parte, che l’orologio che ha compiuto il viaggio ha battuto meno colpi di quello rimasto a terra (l’effetto è stato verificato sperimentalmente più volte a partire dal 1977). L’effetto dipende dalla velocità: il numero dei colpi battuti dall’orologio – la durata del viaggio per chi se lo porti appresso in quel viaggio – tende a zero al tendere a c della velocità con cui lo si compie. Come scrive chi ha formulato i quesiti, per lui-lei “il tempo in quel limite si fermerebbe”. Inutile riproporre qui la piccola disquisizione logica fatta a proposito di energia e quantità di moto: come in quel caso, la velocità limite non è una deduzione, ma una causa. Che “il tempo si fermi” è un assurdo? E perché? A parte che a quella velocità, per quanto detto, non può andare nessuno che abbia una massa.

Un’ultimissima considerazione a proposito dell’ultimo quesito: “se esistesse qualcosa che potesse andare oltre la velocità della luce, ecc.”. Quello che si può controllare in modo efficace con l’uso dei diagrammmi di Minkowski è quanto segue: se un sistema di riferimento S’ potesse essere in moto rispetto a un sistema di riferimento S con velocità superiore a c, le trasformazioni di Lorentz potrebbero produrre una coordinata temporale t’ negativa in corrispondenza di una coordinata temporale t positiva.

Note:

1. Si veda, per questo aspetto: R. Resnick, Introduzione alla relatività ristretta, Ambrosiana, Milano, 1979, p. 123.

2. Il primo a richiamare l’attenzione sulla ridondanza della nozione di massa relativistica è stato probabilmente L.B. Okun’ (Sov. Phys. Usp., 32 (1989) 629).