La matematica e la fisica hanno innumerevoli applicazioni, in particolare nello sport. Tutte le discipline sportive - come ad esempio l’atletica, la vela, il ciclismo e lo sci - sono regolate da leggi della fisica. Per ogni disciplina si possono creare e studiare modelli matematici che rappresentano, con delle formule, il gesto sportivo. Per fare questi modelli bisogna prima studiare le leggi fisiche che interagiscono con l’atleta e l’ambiente. Dal modello si potranno estrapolare informazioni per ottimizzare le strategie di gara e la tecnica del nostro sport. Ma non solo! Il modello ci permette di fare delle “previsioni”: una volta noti i dati iniziali si è in grado di riprodurre l’azione e dedurre il risultato finale.

Per circoscrivere il discorso a un esempio, noi faremo una breve analisi dello sciatore.

Il sistema atleta/ambiente in questo caso è sciatore/pendio.

Qualsiasi corpo messo su un piano inclinato scivola lungo la linea della massima pendenza per effetto della forza peso che è data dalla massa per la forza di gravità.

La gravità è quella forza che ci tira verso il basso e quindi senza di essa non sarebbe possibile sciare.

Ci sono anche altre forze da considerare che esistono grazie all forza di gravità: la reazione vincolare del terreno che ci permette di non sprofondare e anche di fare le curve, e gli attriti. Gli attriti sono delle forze che ci permettono di avere il controllo sugli sci, infatti esse ci fanno rallentare mentre in assenza di loro continueremmo ad accelerare all’infinito!

Gli attriti sono dovuti dalla resistenza dell’aria e dal contatto con la neve.

L’atleta agonista cerca di scendere lungo un pendio il più velocemente possibile e quindi per ridurre gli attriti al minimo indossa una tutina da gara areodinamica e mette la sciolina sotto gli sci.

Solitamente uno sciatore scende lungo un pendio facendo le curve.

Il sistema sciatore-che-curva /pista può essere studiato da due punti di vista: quello dello sciatore (sistema non inerziale) e quello dell’osservatore (sistema inerziale).

Nel sistema non inerziale entra in gioco la forza centrifuga che tende a far andare dritto lo sciatore. Per contro-bilanciare questa forza lo sciatore si inclina verso l’interno della curva e grazie alla reazione vincolare del terreno e alla conformazione geometrica degli sci questi si deformano e fanno presa sul terreno facendo sì che lo sciatore curvi. Sono le lamine degli sci che permettono di sfruttare al meglio la reazione vincolare del terreno ed è per questo che è importante averle affilate!

Nel sistema inerziale invece c’è la forza centripeta che è in modulo uguale alla forza centrifuga ma ha verso opposto. Questo significa che il vettore punta verso l’interno della curva.

Ora vediamo un po’ più nei dettagli quello che accade: per semplicità iniziamo a considerare lo sciatore che va dritto.

Abbiamo detto che qualsiasi corpo messo su un piano inclinato scivola lungo la linea della massima pendenza per effetto della forza peso P=mg, dove m = massa del corpo e g = forza di gravità.

P può essere scomposta in due componenti, quella parallela al piano (P_t) che fa scivolare il corpo lungo il pendio e quella perpendicolare al piano (P_n) che spinge il corpo verso il piano.

P_t e P_n sono legate al peso P tramite l’angolo a che corrisponde alla pendenza del piano inclinato e abbiamo:

P_t = Psen a

P_n = Pcos a

P è applicato nel baricentro del corpo.

Si osserva facilmente che se il piano è orizzontale cioè se  = 0° la forza P_t che accelera il corpo è nulla, mentre se il piano è verticale P_t è massima cioè P_t = P.

Una pendenza intermedia ragionevole per una pista di sci è ad esempio  = 30°. Poichè sen30° vale 1/2 si ha che P_t = P/2 ovvero lo sciatore è tirato da una forza pari alla metà del suo peso.

N è la reazione vincolare del terreno e ci impedisce di sprofondare perché è uguale e contraria a P_n (terzo principio della dinamica).

L’attrito è una forza opposta al movimento esercitata da due corpi in contatto, e come abbiamo visto sono la resistenza dell’aria e la forza attrito.

La resistenza dell’aria dipende dalla forma del corpo, dal materiale con cui è fatto e dalla velocità del corpo.

Più precisamente abbiamo che:

F_r = CK_rv², dove C = coefficiente legato alla forma e quindi nel nostro caso C dipende dalla posizione, K_r = coefficiente di attrito che dipende dal materiale della superficie di contatto cioè materiale tuta-aria e v = velocità sciatore.

Si può osservare che F_r varia come v² il che significa che la resistenza dell’aria cresce all’aumentare della velocità. Inoltre v = ( F_r / CK_r )^1/2 cioè la velocità aumenta diminuendo i coefficienti C e K_r, ecco perché stando a “uovo” e con la tutina da gara si va più veloci!

La forza attrito invece dipende dalla componente perpendicolare del peso P_n e dal coefficiente di attrito da contatto sci-neve K_a. Abbiamo che F_a = P_nK_a. Per minimizzare l’attrito occorre diminuire K_a quindi lo sci sciolinato facendo meno attrito è più veloce.

L’equazione del moto dello sciatore che va dritto è:

ma = P + N + F_r + F_a

essendo F_n = -N

ma = P_t + F_r + F_a.

Ora passiamo al sistema sciatore-che-curva/pista e iniziamo dal sistema non inerziale.

Supponiamo che lo sciatore scenda lungo un arco di curva di raggio R a velocità costante v.

La forza centrifuga che agisce sullo sciatore è:

F_cf= mv²/R

Nel sistema non inerziale la risultante di tutte le forze che agiscono sullo sciatore è zero:

F_cf + P + N + F_r + F_a = 0

Nel sistema inerziale la componente della reazione vincolare opposta alla F_cf è l’accelerazione centripeta a_cp.

a_cp = v²/R

L’equazione del moto in questo sistema è:

ma_cp = P + N + F_r + F_a

Questi sono i primi presupposti per creare un modello matematico. Sono ancora troppo semplici, bisognerebbe fare delle analisi più approfondite studiando anche i momenti angolari. Intanto volevamo rendere l’idea di come si può analizzare uno sport da un punto di vista matematico e fisico.