L'infinito potenziale è rappresentato da estensioni, o quantità o collezioni o classi senza fine: dato un insieme finito qualunque di elementi, ce ne è sempre uno diverso. I numeri naturali sono, nel giudizio unanime, una collezione potenzialmente infinita, ma non solo loro; anche i numeri primi, come si è riconosciuto da Euclide in poi, formano una collezione infinita in questo senso.

Non solo delle collezioni si dice, quando è il caso, che sono potenzialmente infinite, lo si dice anche di processi senza fine. Si intende dire che l'insieme degli stadi diversi generati dal processo è infinito, se il processo non termina. Viceversa in una collezione infinita si può vedere un processo di conteggio o estrazione degli elementi, processo che non ha mai fine.L'infinito potenziale è presente non solo in matematica ma anche, dall'antichità, nella riflessione filosofica (la gara tra Achille e la tartaruga che per Zenone non finirebbe mai…). Infinito è ciò che non ha confine, e quindi non è mai completo.

Una collezione si dice attualmente infinita se oltre a non essere finita la si può assumere come un oggetto, più o meno della stessa natura dei suoi oggetti. Un pallone ad esempio è un oggetto che può essere preso a calci. Anche la Terra è a tutti gli effetti una palla, ma non la si può usare per una partita di calcio. David Hilbert pensava che nel mondo fisico l'infinito attuale non si incontrasse mai, né nel piccolo né nel grande. Se anche l'universo fosse infinito, sarebbe appunto un infinito potenziale. Secondo alcune correnti teologiche, Dio è un infinito attuale: non lo si può prendere a calci, ma è infinito ed esiste in modo completo.

L'infinito attuale si trova certamente nella matematica, e nella scienza teorica in generale. I matematici considerano la collezione dei numeri naturali come un insieme, e questo è il loro modo per dire che trasformano in un oggetto la totalità dei numeri. Su di esso possono quindi fare le operazioni che fanno sugli insiemi, ad esempio considerare l'insieme di tutte le successioni di numeri naturali, e altre, che danno origine a insiemi più grandi e più ricchi di struttura. I numeri reali sono prodotti in questo modo, e formano un insieme infinito di cardinalità maggiore di quella dei numeri naturali (con una opportuna definizione di cardinalità). Se esiste un infinito attuale, ne esiste uno minimo ma ne esistono di più grandi in una scala senza fine. Nella fisica, a prescindere dalla decisione se il nostro universo sia finito o infinito, a seconda dei modelli cosmologici che prevarranno, nella teoria si contempla la possibilità che ci siano diversi universi, che potrebbero essere allora ciascuno un infinito attuale.

La definizione di “infinito” che si dà in matematica, dal 1870 circa (dovuta a Richard Dedekind) è la seguente: una collezione è infinita se esiste un'applicazione iniettiva (o biunivoca, uno-uno) della collezione su di una sua sottocollezione propria. La definizione si applica ai numeri naturali, considerando l'applicazione che a ogni numero n associa il suo successore n + 1. L'applicazione manda i numeri nei numeri positivi, zero escluso, ed è iniettiva: se m ≠ n anche m + 1 ≠ n + 1. Per gli insiemi finiti questo non è possibile. La definizione si applica ai numeri sia che li si considerino potenzialmente infiniti sia che li si consideri un insieme attualmente infinito. I matematici assumono come assioma che esista un insieme infinito, quindi infinito attuale. n Qualche frangia di matematici eretici contesta questa decisione, pur accettando ovviamente che i numeri naturali formano un infinito potenziale. Secondo gli intuizionisti, nessuna collezione è un infinito attuale (quindi non si può postulare che esista un insieme infinito). Secondo altri costruttivisti, possono esserlo solo quelle che sono della stessa cardinalità dei numeri naturali o, come si dice, hanno la cardinalità del numerabile, essendo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Da decisioni di questo tipo seguono importanti conseguenze sul taglio di parti più o meno ampie della matematica moderna. La maggior parte dei matematici tuttavia è per la totale libertà (o quasi, purché si evitino i paradossi) e l'esistenza degli insiemi viene regolata dagli assiomi di una teoria che di solito è quella che si chiama di Zermelo-Fraenkel.

Per saperne di più, anche sulle discussioni filosofiche e teologiche relative all'infinito, si veda Paolo Zellini, Breve storia dell'infinito, Adelphi.