La domanda presuppone che vi sia una definizione di flusso “intuitiva” corrispondente a una definizione intuitiva di fluido. Ad esempio, per un fluido omogeneo che scorre con velocità costante in un cilindro indefinito di sezione circolare costante si può pensare di definire il flusso come il prodotto della velocità per la quantità di fluido che si trova a ciascun istante tra due sezioni (geometriche) d e d' poste a distanza D tra loro, il tutto diviso per la distanza D. Notare che il risultato non dipende dal valore attribuito a D, purchè finito. Il parametro D viene introdotto solamente per dare significato al termine volume e quindi “quantità”.

Analogamente si può definire, sempre in condizioni di omogeneità spaziale e di velocità costante, il flusso attraverso una porzione S della sezione se si considera il cilindro contenuto tra d e d' e avente base S. È intuitivo che il risultato è proporzionale all'area di S, e quindi il risultato che si ottiene dividendo per l'area di S non dipende dall'estensione di S e può essere associato a ogni punto del cilindro (lo si potrebbe definire “densità di flusso”).

È anche intuitivo che se la sezione del tubo è “quasi” costante, la velocità è “quasi” costante e la densità del fluido è “quasi” costante, il risultato ottenuto è “quasi” lo stesso e la definizione è “quasi” precisa. Se i dati non sono quasi costanti, conviene “localizzare” il problema e considerare porzioni di fluido “molto piccole” le cui parti hanno velocità “quasi” uguale.

Una definizione abbastanza accurata di flusso può essere fatta in questo modo con metodi geometrici e grafici (Leonardo). Questo, seguendo la nostra intuizione. Ma se si tratta di dare risultati precisi queste “quasi definizioni” non sono sufficienti. Come in tutti gli aspetti della matematica applicata una formalizzazione in termini matematici è necessaria per avere una definizione a cui applicare un' analisi quantitativa.

Una definizione precisa con procedimenti di limite (esaustione) è stata formulata dagli scienziati di epoca alessandrina, in particolare da Archimede. Questi procedimenti di limite hanno avuto una formalizzazione (quasi) completa a partire da Newton e Cartesio, e hanno portato al calcolo differenziale. Questo è uno strumento efficace per una formalizzazione matematica della definizione intuitiva di flusso almeno se si fa l'ipotesi (comune alla scienza moderna dei fluidi) che il fluido sia modellizabile come un continuo.

In realtà per l'applicazione del calcolo differenziale è necessario solo che lo spazio in cui si collocano gli oggetti sia dotato di una struttura metrica, ad esempio sia identificabile con lo spazio geometrico euclideo. Se questo è vero si può definire il flusso di energia, di materia, di quantità di moto, ma anche di particelle, sia in meccanica classica che in meccanica quantistica.

Con queste premesse, la definizione matematica di flusso richiede preliminarmente la definizione di alcune strutture matematiche che intervengono in modo naturale nel processo di formalizzazione matematica, attraverso il calcolo differenziale, in particolare attraverso la geometria differenziale, della descrizione dello spazio fisico espresso in termini geometrici (area, volume, posizione ecc.).

È quindi naturale che intervengano nella formalizzazione entità geometriche astratte; una di queste è la “superficie” e il suo orientamento, un'altra è il “vettore” e più in generale il “campo vettoriale”, una terza è la derivazione (rispetto alle variabili spaziali e rispetto al tempo) e il suo duale, l'integrazione su una superficie o su un elemento di volume. Tutti questi sono procedimenti di “localizzazione” necessari quando il fenomeno che si vuole modelizzare non è omogeneo.

Queste strutture hanno infatti origine dalla necessità di formalizzare concetti “primitivi” come la velocità (ad esempio di una porzione di fluido) e una “sezione sottile” della porzione di spazio in cui il fluido (o la particella) si muove e la “somma della quantità di materia” che si trova “a un determinato istante” in una regione prefissata dello spazio.

Si tratta di concetti “primitivi” perché si riferiscono a un'idea primitiva di continuità che rende il problema ”non molto diverso” da quello che si avrebbe nel caso di perfetta omogeneità spaziale e di velocità esattamente costante (che sono casi semplici ma idealizzati).

Con procedimenti di limite si introducono così i campi vettoriali, ad esempio la velocità euleriana (la velocità dell'elemento di fluido “infinitesimo” che si trova ad un istante prefissato in una determinata “posizione spaziale”).

Utilizziamo la notazione “…” per ricordare che è implicito un processo di limite, Sebbene si utilizzi spesso il termine colloquiale “elemento di volume infinitesimo” non si tratta un di una porzione di fluido “più piccola di qualunque altra” (descrizione priva di significato).

La definizione geometrico-analitica di superficie permette di definire per ogni punto x della superficie S (x sono i tre numeri che rappresentano mediante coordinate cartesiane i punti dello spazio euclideo) il vettore unitario n(x) normale (ortogonale) alla superficie in ogni suo punto. Dalla definizione euclidea di area di una superficie piana elementare mediante un processo di limite si può definire una misura σ sulla superficie considerata (un quantità associata a ogni punto della superficie e che “integrata” su una porzione di superficie dà la sua area). A questo punto il flusso di un campo vettoriale v(x) attraverso una porzione S di superficie è per definizione l'integrale rispetto alla misura σ della proiezione del vettore v(x) sul piano passante per x e perpendicolare a n(x).

È facile convincersi che nel caso di un fluido di densità locale ρ (x) e velocità locale v(x) (anche questa quantità matematica è definita con un processo di limite partendo dalla quantità di fluido racchiusa in una regione sempre più piccola contenente il punto geometrico rappresentato da x) la definizione che abbiamo dato coincide con quella elementare (in condizioni di omogeneità) scegliendo per ciascun punto z un cilindro orientato come n(z) di altezza D e avente per base un (piccolo) intorno di x0 e calcolando il flusso del campo che vale v(z) in ciascun punto.

Eseguendo infatti i calcoli indicati si vede che la differenza tra i termini delle successioni così calcolate tende a zero al tendere a zero dell'area delle regioni considerate.

Il termine flusso compare in varie definizioni legate in modo più o meno diretto al concetto normale di fluire. Per cominciare consideriamo la definizione in cui il termine flusso è associato a un campo vettoriale. Procedendo con ordine: un campo vettoriale è una legge che associa ad ogni punto di una regione di spazio un vettore; esempi tipici sono il campo gravitazionale generato da una massa, o il campo Coulombiano generato da una distribuzione di cariche, il campo di velocità di un fluido etc. etc.).

Data una superficie S immersa nel campo si fissa un verso per la normale, per ogni punto di S si considera la componente del vettore del campo sulla normale (in gergo il prodotto scalare fra i due vettori), si sommano i contributi di tutti punti di S (in gergo si integra il precedente prodotto scalare su S). Il risultato di queste operazioni è il flusso totale del campo vettoriale attraverso la superficie S.

Nel caso di un liquido in moto il nome è intuitivamente ben scelto perché per misurare quanto liquido passa attraverso una data superficie conta proprio la componente di velocità ortogonale alla superficie; quella tangente alla superficie ovviamente non la attraversa. La definizione appena data rimanda al Teorema della divergenza, detto anche di C.F.Gauss (1777-1855), G.Green (1793-1841), M.Ostrogradski (1801-1862), che lega il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa all'integrale della divergenza del campo sul volume contenuto nella superficie data. In moltecipli settori applicativi questo teorema permette di tradurre equazioni di bilancio su volumi finiti arbitrari in equazioni differenziali nei punti interni a tali volumi. Esempio tipico in dinamica dei fluidi è la così detta equazione di continuità che esprime punto per punto la legge fisica di conservazione della massa. Per approfondire rimando a testi di Analisi Matematica, per esempio C.D. Pagani,S.Salsa Analisi Matematica 2 (Masson Ed.,1994) che contiene anche applicazioni alla fisica.

Altre definizioni, sempre nel contesto dei campi vettoriali, sono quelle di linea, superficie, tubo di flusso: linea di flusso è una curva tangente punto per punto al vettore di campo (per moti stazionari di liquidi è proprio una linea di corrente), superficie di flusso è l'insieme di linee di flusso passanti per una data curva, se la curva è chiusa si parla di tubi di flusso. In dinamica dei fluidi si parla anche di flusso più un nome o aggettivo per indicare tipi particolari di moto ad esempio: flusso di Stokes, flusso di Couette, flusso laminare. Nello studio dei Sistemi dinamici (che nella sua forma odierna inizia con J.H. Poincarè (1854-1912)) compaiono il flusso di fase e il flusso Hamiltoniano, legati ad un altro importante teorema, quello di J.Liouville (1809-1882) che afferma che il flusso Hamiltoniano conserva il volume dello spazio delle fasi. In informatica si parla di diagramma di flusso.

Alla seconda domanda ho già risposto con i nomi precedenti, aggiungo che il primo settore di problemi considerati è ovviamente quello della dinamica dei liquidi, già il solito Leonardo da Vinci aveva considerato un caso particolare dell'equazione di continuità. Un grande nome da aggiungere è quello di Daniel Bernoulli (1700-1782) col suo trattato Hydrodinamica (1738). I contributi di Gauss, Green, Ostrogradski erano invece nati nello studio del potenziale gravitazionale o Coulombiano (pare che il termine potenziale sia stato coniato proprio da Green) ed erano volti a determinare l'equazione differenziale che deve essere soddisfatta dal potenziale, cioè le equazioni, famosissime e che compaiono ovunque, di Laplace (1749-1827) e di Poisson (1781-1840).

Alla terza domanda, dopo affannose ricerche su testi, rete e colleghi, non so rispondere. Questo può voler dire che bisogna chiedere a un vero specialista di Storia della Matematica e/o della Fisica oppure che non si sa la risposta; presumibilmente, essendo il termine flusso usato in una qualche forma fin dai primi studi sulla dinamica dei fluidi, bisogna mettersi a studiare con calma i primi lavori su questo argomento.