innanzi tutto, complimenti per il tuo buon “fiuto matematico”: le funzioni sono tra i concetti fondamentali della matematica moderna, si può dire che abbiano, per la matematica, un ruolo simile a quello di un pilastro per un edificio.

Immagino che tu abbia notato come, in tante occasioni, possa essere utile prendere nota dei legami che intercorrono tra fatti diversi. Un esempio familiare: se siamo malati, il medico vuole sapere non solo se abbiamo la febbre, ma come questa varia nel tempo; quindi ci chiede di prendere nota della temperatura segnata dal termometro in certi momenti fissi della giornata: alle otto, alle dodici, alle sedici, alle venti. Supponi che il nostro medico voglia seguire minuziosamente l'andamento della malattia: potrebbe chiedere che la temperatura venga controllata ad ogni ora. Per tenere traccia di tutte queste misure converrà allora prendere un bel foglio di carta, possibilmente quadrettata, disegnarci una riga con delle tacche numerate 1,2,..... , disegnare una perpendicolare su cui indicare le temperature possibili (37, 38 eccetera), poi procedere in questo modo: se all'una la temperatura è 37, facciamo un segno sulla verticale che passa per 1, all'altezza del 37, se alle 2 la temperatura è 38, il segno sulla seconda verticale è all'altezza del 38 e così via. Quando alle nove il medico viene a controllare la situazione, vede sul foglio un disegno come questo

e capisce subito che la temperatura è cresciuta fino alle 4, ha avuto un piccolo calo alle 5, ma alle 6 era altissima, poi però ha cominciato a discendere. Ogni punto segnato nel foglio fornisce una informazione precisa: il punto sulla sesta verticale, avendo l'altezza che corrisponde a 41, ci dice che alle 6 la febbre era arrivata a 41 gradi. Alle 9, la temperatura era di 38 gradi.

Sono molte le situazioni in cui si studia un fenomeno collezionando delle misure (pensa ai centimetri che indicano l'altezza di un bambino, di cui si vuole seguire la crescita) oppure registrando dei numeri (il prezzo della benzina) in momenti diversi (oggi, fra sei mesi, tra un anno, un anno e mezzo...). Ognuna di queste situazioni è completamente descritta da coppie di numeri: nel caso dello studio della crescita del bambino, il primo numero individua il tempo della misurazione, il secondo l'altezza in quel momento; nel caso del costo della benzina, il primo numero individua il giorno o il periodo di osservazione, il secondo il prezzo in quel momento.

Se conveniamo di chiamare “funzione” una qualsiasi regola che faccia attaccare ad ogni numero di un certo insieme di numeri un altro numero di un altro insieme, allora conoscere una funzione equivale a conoscere tutte le possibili coppie costituite da un numero del primo insieme (nei nostri esempi, numeri che indicano ore, o giorni, o mesi) e dal corrispondente numero del secondo insieme: nel nostro primo esempio, la coppia (6,41) contiene come secondo numero, 41, il valore della temperatura alle ore 6.

Equipaggiamo ora il piano con una griglia; ad ogni punto della griglia è attaccata una coppia di numeri: il primo dice di quante “tacche” bisogna spostarsi in orizzontale (lungo la retta x), il secondo numero di quante bisogna spostarsi in verticale (nella direzione della retta y) per arrivare al punto fissato:

Una funzione, allora, risulta ben rappresentata da certi punti nel piano: sono i punti etichettati dalle coppie di numeri “legati” dalla funzione. Per esempio, la funzione che ad ognuno dei numeri pari tra 1 e 11 associa la sua metà è rappresentata nel disegno qui sotto da cinque punti:

Ci sono molti tipi di funzioni, tra cui quelle, importanti, che nel piano vengono rappresentate da curve. Sono sicura che le studierai con interesse e anche divertimento, nei prossimi anni