Ma, ahimé, la divisione (come tutte le operazioni inverse) è molto, molto più difficile della moltiplicazione e sarebbe un po' curioso, per verificare il risultato di un'operazione, utilizzare un'operazione molto più complicata della prima. Insomma, ha senso verificare la correttezza di una divisione con una moltiplicazione (che è molto più semplice), ma non viceversa. Ecco perché, nella pratica scolastica, si mostrano "prove" di un'operazione che non hanno affatto lo scopo di verificare la correttezza di un'operazione ma soltanto lo scopo di ... aumentare la probabilità che il risultato sia corretto.

Ai miei tempi andava molto di moda (ora non più?) la "prova del nove" che consisteva in questo: una volta trovato il risultato di una moltiplicazione a×b=c, si sommavano le cifre di a, di b e di c (e se il risultato aveva più cifre se ne sommavano ancora le cifre e così via fino ad arrivare ad una cifra soltanto) ottenendo A, B, C compresi tra 0 e 8.

Per esempio, 158×237=37446. Sarà giusto? Sommando le cifre di 158 si ottiene A=5, sommando quelle di 237 si ottiene B=3, sommando quelle di 37446 si ottiene C=6. La "prova" consiste nel verificare se A×B (o meglio, la somma delle cifre di A×B) è uguale a C: 5*3=15=6.

In realtà non si tratta affatto di una prova. Dal punto di vista strettamente matematico, semplicemente si verifica non che il risultato sia esatto, ma che sia coerente in Z10. Infatti sommare le cifre di un numero significa sostituire a quel numero il suo resto rispetto a 9: resto(158, 9) = 5, nel senso che dividendo 158 per 9 si ottiene resto 5. Nello stesso modo resto(237, 9) = 3, resto(37446, 9) = 6. Ora, il prodotto dei resti deve uguagliare il resto del prodotto, e cioé resto(5×3, 6) = resto(158×237, 6), uguaglianza che in effetti è verificata.

Ma, si badi, se il risultato della moltiplicazione, anziché quello giusto 37446, fosse stato 34746, la prova del 9 avrebbe funzionato ugualmente. Insomma, questo genere di "prove" ha le seguenti implicazioni logiche: se la prova del 9 è sbagliata allora il risultato è certamente sbagliato; se la prova del 9 è giusta, allora non sappiamo se il risultato è giusto, ma abbiamo in qualche modo aumentato la probabilità che lo sia.

Nello stesso modo una "prova" potrebbe consistere, perché no, nello scambiare i fattori. I singoli addendi dell'algoritmo cambiano e quindi può essere un test che aumenta la probabilità di correttezza. Per esempio:

37x
25=
___
185
740
___
925

Ma scambiando i fattori:

25x
37=
___
175
750
___
925

Beh, se si riescono a trovare due risultati sbagliati e uguali, allora si è davvero sfortunati!