Nelle ultime decadi gli insiemi frattali, per la loro bellezza e il misterioso fascino matematico che racchiudono, hanno suscitato l'interesse non solo dei matematici e degli addetti ai lavori, ma anche di artisti, filosofi o semplici curiosi. La cosa però forse più sorprendente è che queste suggestive strutture matematiche appaiano in modo naturale nello studio dei sitemi fisici e, in particolare, dei sistemi magnetici, sia in meccanica classica che in meccanica quantistica.

In meccanica classica l'apparire di insiemi frattali è legato al carattere caotico della dinamica. Per illustrare questa affermazione, soffermiamoci su un semplice esempio. Consideriamo una sfera di ferro sospesa al soffitto del laboratorio tramite un'asta rigida (pendolo sferico), e collochiamo sul pavimento del laboratorio tre magneti, che chiameremo per convenzione rosso, verde e blu (vedi figura 1).

Figura 1. Una sfera di ferro in un sistema con tre magneti

Indichiamo con (x, y) le coordinate della proiezione sul piano orizzontale del centro della sfera. A un certo istante, diciamo t=0, collochiamo la sfera nella posizione di coordinate (x₀, y₀) e lasciamo che il sistema evolva sotto l'azione del campo magnetico generato dai tre magneti. Il sistema seguirà traittorie in generale molto complicate (il lettore interessato può trovare le equazioni che governano approssimativamente la dinamica sul sito web di René Müller, da cui sono tratte anche alcune figure.) Visto che il sistema è sottoposto alle forze d'attrito, dopo un certo tempo il pendolo si fermerà in prossimità di uno dei tre magneti. Quindi possiamo colorare le traiettorie con il colore corrispondente al nome del magnete vicino a cui la traiettoria andrà a fermarsi (vedi figura 2).

Figura 2.Traiettorie di una sfera di ferro sospesa sopra tre magneti

Notiamo subito una particolarità. Traiettorie che partono vicine, anche estremamente vicine, possono terminare su magneti differenti: una piccola variazione nelle condizioni iniziali del sistema, può portare a conseguenze profondamente diverse. Questo fatto, che segue dalla caoticità della dinamica, è stato battezato effetto farfalla dai fisici dell'atmosfera: il battito delle ali di una farfalla nelle Filippine (piccola variazione nelle condizioni iniziali) può causare un ciclone nei Caraibi dopo qualche giorno (grande variazione dello stato finale del sistema). È questo effetto che rende difficili le previsioni metereologiche nel medio-lungo periodo!

Per studiare l'effetto farfalla e la caoticità della dinamica è utile "colorare" i punti del pavimento: collochiamo il pendolo inizialmente nella posizione (x₀, y₀) e osserviamo la traiettoria del pendolo, sino a quando si raggiunge uno dei tre magneti. Se, ad esempio, il pendolo raggiunge il magnete rosso, coloriamo il punto (x₀, y₀) di rosso. Con molta pazienza, o con l'aiuto di un calcolatore e delle equazioni che governano la dinamica, possiamo ripetere questa operazione per tutti i punti del piano, ottenendo ad esempio la figura 3.

Figura 3. Rappresentazione dell'effetto farfalla

Notiamo che vi sono tre sottoinsiemi (isole) dove la dinamica non è caotica: se cambiamo leggermente le condizioni iniziali, il risultato non cambierà per nulla. Nel resto del piano però, la dinamica è estemamente sensibile al dato iniziale, come è testimoniato dalla struttula frattale dei tre insiemi costituiti dai punti di un fissato colore.

A livello di meccanica classica, l'apparire dei frattali riflette quidi la caoticità (o se si preferisce la dipendenza sensibile dai dati iniziali) della dinamica. In tal senso, non è un fatto specifico dei sistemi magnetici.

Nel caso della meccanica quantistica, l'apparire di strutture frattali è invece strettamente legato alla presenza di campi magnetici e di strutture periodiche (ad esempio un solido cristallino, o un metallo). La spiegazione di questo interessante fenomeno (in cui appare un celebre frattale noto come farfalla di Hofstadter) è ben al di là delle possibilità di una esposizione divulgativa. Il lettore interessato (e con un minimo di conoscenza della meccanica quantistica) può approfondire l' argomento leggendo le interessanti review di Yosi Avron (disponibili al sito http://physics.technion.ac.il/~avron/)

Crediti: Le figure sono state generate con un software prodotto da René Müller dell'Institute for Pervasive Computing, ETH Zurich.