Non mi pare che ci sia alcuna differenza tra la frazione a/b e la divisione a:b.

Il numero razionale è visto in entrambi i casi come una coppia ordinata (a,b) di numeri naturali, con b diverso da 0, cioè come un elemento di NxN⁰ (consideriamo per semplicità i razionali non negativi). Ad ogni elemento di NxN⁰corrisponde uno ed un solo numero razionale. Un numero razionale è individuato invece da infiniti elementi di NxN⁰, tutti quelli tra loro equivalenti secondo la relazione di equivalenza (a,b) = (c,d) se ad = bc. Spesso si individua come rappresentante della classe la coppia (a,b)"ridotta ai minimi termini", cioè con massimo comun divisore uguale a 1, MCD(a,b) = 1. Le due operazioni fondamentali sono definite, come è noto, nel seguente modo:

• addizione: (a,b)+(c,d) = (ad+bc,bd)
• moltiplicazione: (a,b)*(c,d) = (ac,bd).

In termini più strettamente algebrici: se A è un "dominio di integrità",cioè un anello privo di divisori dello zero (se ab=0 allora (a=0)o(b=0)), allora in AxA⁰ la relazione (a,b) = (c,d) se ad = bc è una relazione di equivalenza, e l'insieme quoziente è un campo rispetto alle operazioni addizione: (a,b)+(c,d) = (ad+bc,bd) moltiplicazione: (a,b)*(c,d) = (ac,bd) Dal dominio di integrità Z (l'insieme dei numeri interi) si ottiene in questo modo il campo dei numeri razionali.

Tra parentesi, si osservi che se al prodotto sostituiamo la somma, la stessa relazione di equivalenza (a,b) = (c,d) se a+d = b+c in NxN individua l'insieme Z dei numeri interi. Anche Z, in definitiva, poteva essere identificato come coppia di naturali; chissà, forse in qualche universo parallelo al nostro non scrivono -5 ma (2,7), oppure (0,5). In Z così costruito le operazioni fondamentali sarebbero le seguenti:

• addizione: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
• moltiplicazione: (a,b)*(c,d) = (ac+bd,bc+ad).

Diciamo piuttosto che a:b e a/b suggeriscono differenti scenari.

La divisione a:b evoca la scrittura decimale del risultato, espresso come allineamento di cifre decimali; per esempio 1:8 = 0.125000...
1:7 = 0.142857...

Un numero razionale può essere allora identificato, anziché da una coppia di naturali, da una successione di cifre {0, 1, ..., 9}. A questo proposito è interessante stabilire quali divisioni danno luogo a numeri decimali "finiti" (meglio, di periodo 0, come 1:8) oppure periodici (come 1:7) e a dimostrare che non si danno altre possibilità. Ugualmente interessante è analizzare la lunghezza del periodo e dell'antiperiodo della rappresentazioni decimali, e magari interrogarsi sulla conservazione o meno di tali proprietà in numerazione con base diversa da 10.

Tali proprietà sono strettamente collegate con l'algoritmo euclideo e il magico gioco quoziente-resto. Per esempio, che una divisione dia luogo sempre a un numero decimale periodico (eventualmente di periodo 0) dipende dal fatto che il numero di possibili resti nella divisione per b è finito (0, 1, ..., b-1) e che quindi dopo al più b cifre decimali debba necessariamente ripetersi un resto e dunque iniziare un periodo.

Vale la pena osservare che nel contesto del calcolo automatico lavorare con la coppia (a,b), cioè mediante calcolo simbolico, è del tutto differente che lavorare con la rappresentazione decimale di a:b. Quest'ultima, infatti, implica una necessaria approssimazione numerica e dunque un errore della cui propagazione è bene tenere conto. Per esempio se nella cella A1 di Excel scrivete"=1/3"non avete affatto definito il numero razionale 1/3, ma un suo troncamento (alla 15-esima cifra decimale). Se in A2 scrivete"=4*A1-1"e copiate verso il basso, non ottenete una successione costante di valore 1/3, come è lecito attendersi, ma una successione che, a causa dell'errore di troncamento, diverge a meno infinito.