I numeri p-adici
Leggendo un articolo che parlava di matematica comparso su un numero di focus di qualche anno fa, mi sono imbattuto nelle più bizzarre invenzioni dei matematici per venire a capo dello stupendo e stupefacente mondo della matematica. Dopo un elenco relativamente breve, l'articolo faceva riferimento ai "numeri p-adici". Vorrei sapere che caratteritiche o in che ambito si usano tali numeri, se possibile. Ringrazio anticipatamente chiunque vorrà rispondermi.
7 novembre 2005
I numeri p-adici si ottengono a partire dai numeri razionali in modo analogo ai numeri reali, ossia come "punti limite rispetto a un opportuno valore assoluto".
Nel caso dei reali il valore assoluto è quello usuale. Nel caso dei p-adici questo valore assoluto è del tutto diverso; grosso modo, i numeri "piccoli" sono quelli il cui numeratore è divisibile per una "grande" potenza di p. Un'altra analogia dei p-adici è con le "serie di potenze" (formali).
I numeri p-adici sono un modo per inglobare simultaneamente infinite "congruenze" i cui moduli sono le potenze del primo p. Ad esempio, dire che l'equazione x2=2 ha soluzione nel campo Qp dei numeri razionali p-adici significa che le congruenze x2=2 (mod pn) hanno tutte una soluzione intera, per grande che sia n.
Per i p-adici si possono sviluppare teorie analitiche e geometriche analoghe a quelle per le funzioni reali o complesse. Molti teoremi mantengono la loro validità, ma ci sono anche importanti differenze.
Umberto Zannier
Professore ordinario di Geometria, Scuola Normale Superiore, Pisa
