La trisezione di un angolo con riga e compasso è impossibile in generale, ma esistono angoli che possono essere trisecati con costruzioni ad hoc. Lo è ad esempio l'angolo la cui misura in radianti è ϖ/2 (90°): in questo caso si può prima costruire un angolo di ϖ/3 (costruendo un triangolo equilatero) e poi bisecarlo, ottenendo un angolo di ϖ/6 (30°).

Si possono perciò trisecare con riga e compasso anche gli angoli multipli di ϖ/2 e quelli ottenibili bisecando l'angolo di ϖ/2 e continuando a bisecare gli angoli così ottenuti: nel primo caso, basta costruire un opportuno multiplo dell'angolo ϖ/6 e, nel secondo, bisecare l'angolo ϖ/6 e continuare a bisecare per un certo numero di volte.

Se il lettore non è incorso in un caso come questo, può darsi invece che abbia usato la riga e il compasso in modo "non classico". Infatti l'impossibilità deriva anche dal modo in cui si usano tali strumenti. Nel "modo classico", la riga può essere usata solo per:

• congiungere tra loro con un segmento due punti assegnati;
• prolungare in linea retta da una o da entrambe le parti un segmento assegnato.

Il compasso, a sua volta, può essere utilizzato solo per tracciare un cerchio, dati il suo centro e un punto della circonferenza.

Non è lecito usare la riga graduata, né segnare su di essa delle tacche, per riportare la lunghezza di un segmento da inserire da qualche parte a "tentativi"; non si può neanche usare il compasso alzandolo dal foglio mantenendolo aperto, allo stesso scopo. Tali indicazioni si trovano evidenziate (senza esplicitare i termini "riga" e "compasso", ma trattando in astratto di punti, linee rette e cerchi), nei primi tre postulati degli "Elementi di geometria" di Euclide. Inoltre la seconda Proposizione del I libro degli Elementi di Euclide stabilisce la costruzione con riga e compasso del "trasporto del segmento", ovvero spiega come usare correttamente riga e compasso per costruire un segmento uguale a un segmento assegnato e avente un estremo in un punto dato.

Tuttavia nell'antichità furono escogitate varie costruzioni con strumenti diversi da riga e compasso, o, ancora, usando riga e compasso in modo "non classico", per risolvere non solo il problema della trisezione dell'angolo, ma anche gli altri famosi problemi come la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo.

Per esempio, esiste una costruzione attribuita ad Archimede di Siracusa che permette di trisecare un angolo qualunque. La sua spiegazione si può evincere dalla figura sotto riportata, ove l'angolo DFE è la terza parte dell'angolo BAC (si osservi che in figura compaiono vari triangoli isosceli; nella dimostrazione si usa più volte il teorema che afferma che un angolo esterno ad un triangolo è pari alla somma degli angoli interni al triangolo ad esso non adiacenti). Nella costruzione, per ottenere DFE si usano solo la riga e il compasso, ma la riga viene usata in modo "non classico", perchè occorre segnare su di essa la misura del raggio AC del cerchio e fare in modo (a tentativi) che il segmento DF risulti uguale ad AC.

Nella dimostrazione dell'impossibilità della trisezione di un angolo qualunque, sono fondamentali le regole di costruzione "classiche" prima esposte: il trucco consiste nella loro traduzione in linguaggio algebrico, passando alla geometria analitica. A partire da certi punti assegnati, l'uso della riga si traduce nella scrittura dell'equazione della retta passante per essi e l'uso del compasso diventa la scrittura dell'equazione di una circonferenza, dati il centro e un punto su di essa. Ad ogni passo della costruzione (che deve consistere di un numero finito di passi) può accadere solo di:

• intersecare due rette;
• intersecare una circonferenza ed una retta;
• intersecare due circonferenze.

Ognuno di questi casi si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni algebriche. Le soluzioni di questi sistemi di equazioni sono numeri che rappresentano le coordinate di punti del piano "costruibili", cioè raggiungibili dopo un numero finito di passi con una costruzione geometrica classica. Si dimostra che solo una parte dei punti del piano sono "costruibili" e che ciò dipende dal grado (minimo) delle equazioni algebriche a coefficienti razionali (numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione tra numeri interi) delle quali le loro coordinate sono soluzioni. Questo grado deve essere una potenza di 2. Poichè per la trisezione dell'angolo si imposta una equazione che generalmente non si può ridurre ad una di tale tipo, ne consegue l'impossibilità di una sua costruzione generale con riga e compasso.

Maggiori dettagli, per gli specialisti, si possono trovare nei testi di algebra universitari (cfr. ad esempio Herstein I.N., trad. it. 1992, Algebra, Editori Riuniti, Roma, p. 250) e, per i non specialisti, nel bellissimo classico della divulgazione matematica Courant Robbins (Courant R., Robbins H., II ed. riveduta da Stewart I., Che cos'è la matematica?, Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 2000, p. 166 e sgg.).