La delta di Dirac

Dopo anni di studio, non ho capito veramente cosa sia la delta di Dirac, ne ho sentite di ogni, mi piacerebbe colmare questo dubbio.
Massimiliano Caccia
7 agosto 2005
La funzione delta appare nella letteratura fisico-matematica in due caratterizzazioni apparentemente differenti
  • in teoria dei campi classici e in teoria dei circuiti (dal punto di vista matematico: in teoria delle equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali) come densità limite di grandezze estensive dello spazio (o del tempo), come ad esempio massa, carica, impulso etc., concentrate in una regione spaziale che si restringe a un punto (o a un intervallo temporale che si restringe a un istante).
  • in meccanica quantistica come versione a indici continui della funzione di Kronecker

Riferendosi al primo ambito è facile convincersi quale sia il processo di limite che definisce la funzione delta ed è altrettanto facile verificare che tale processo non definisce una funzione.

Supponiamo che ρV sia una densità spaziale (ad esempio di massa) che assume il valore 1/V nella regione V attorno al punto y e zero nei punti esterni alla regione V (informalmente stiamo usando il simbolo V per un insieme di punti e per la misura del suo volume). Per costruzione la massa totale di questa distribuzione è uguale a 1. In formule

V ρ(x)V dx = 1

Se la regione V si concentra attorno a y il volume della regione in cui ρV è diverso da zero diminuisce mentre il valore assunto dalla ρV aumenta, la massa totale rimanendo comunque uguale a 1.

è intuitivo supporre che il limite delle ρV per V → 0 possa essere un buon candidato per descrivere la massa unitaria posta nel punto y. La funzione limite vale però zero dovunque fuori dal punto y dove vale . Nell'ambito della teoria delle funzioni integrabili una tale funzione è equivalente alla funzione nulla ovunque. Non è quindi la funzione limite a descrivere correttamente la massa unitaria in un punto.

Se però calcoliamo, ad esempio, il potenziale gravitazionale nel punto z della densità di massa ρV si nota che

limv → 0 G ∫V ρV(x) 1/|x - z| dx = G/|y-z| y ≠ z

ovvero che si ottiene correttamente il potenziale di una massa unitaria posta nel punto y. È quindi la misura ρV dx che ha un limite ragionevole. La corretta formalizzazione si ottiene richiedendo che la misura limite (spesso formalmente scritta come densità per volume δ (x - y) dx sia tale che per ogni funzione continua f delle variabili spaziali si abbia ∫ f(x) δ (x -y) dx = f(y).

Alla funzione delta viene quindi dato un significato rigoroso nell'ambito della teoria della misura ovvero dei funzionali lineari sullo spazio delle funzioni continue, che ha trovato una successiva generalizzazione nella teoria delle distribuzioni (nel cui ambito è possibile dare significato anche alle derivate successive della funzione delta).

In meccanica quantistica la delta appare nel libro di Dirac quando l'autore vuole generalizzare la scrittura delle proprietà di ortonormalità delle autofunzioni relative a differenti autovalori di un operatore autoaggiunto alle autofunzioni generalizzate relative alla parte continua dello spettro dell'operatore stesso.

Che si tratti della stessa definizione data precedentemente può essere verificato nell'esempio più classico di autofunzioni generalizzate. Come è noto le autofunzioni generalizzate dell'energia per una particella quantistica libera, ad esempio in una dimensione, sono le onde piane φk(x) = 1/2 π exp(i k x) per k reale. Che tali autofunzioni per differenti k siano ortogonali tra loro richiederebbe formalmente che

1/2 π ∫R eik'x e-ikx dx = 0 k ≠ k'

L'integrale a primo membro non è però convergente per alcun k ≠ k'. Per k = k' il risultato è naturalmente infinito trattandosi dell'integrale di una costante.

Si può correttamente scrivere che

R eik'x e-ikx dx = δ (k - k')

interpretandola come precedentemente: per ogni funzione continua (rapidamente decrescente all'infinito per semplicità e per evitare dettagli) si ha

1/2 π ∫R f(k) [∫R eik'x e-ikx dx ] dk ≈ 1/sqrt(2 π ) ∫R eik'x[1/sqrt(2 π ) ∫R e-ikxf(k) dk ] dx

= (F(F-1(f))(k') = f(k')

dove con F(f) si è indicata la trasformata di Fourier della funzione f.

La teoria dei campi quantici, in particolare della loro struttura algebrica, è stata formalizzata utilizzando massicciamente la teoria delle distribuzioni.

La risposta è stata formulata con la collaborazione di
Claudio Cacciapuoti
Dipartimento di Fisica
Università di Napoli

Rodolfo Figari Dipartimento di Fisica, Università di Napoli

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