Mi limito a discutere il caso di dimensioni 3 e 2. Le differenze tra i due casi sono sensibili ma il significato intuitivo delle due operazioni rotore (o rotazionale) e divergenza di un campo vettoriale ha aspetti comuni in questi due casi. L'aspetto intuitivo è più recondito in uno spazio di dimensioni maggiori di tre, anche perché questi spazi sono al di fuori della nostra esperienza sensoriale.

Le operazioni si riferiscono a campi vettoriali (ovvero spazi in cui è assegnato un vettore a ogni punto) con opportune proprietà di regolarità. Per intenderci, un campo di velocità di un fluido o il campo elettromagnetico. La differenza tra il caso di due e tre dimensioni (spaziali) consiste nel fatto che in due dimensioni il rotore di un campo vettoriale è un campo scalare (ossia descritto da un numero in ogni punto) mentre in tre dimensioni è un campo vettoriale. In entrambe le dimensioni, così come in dimensioni maggiori, la divergenza di un campo vettoriale è un campo scalare.

Veniamo alle proprietà intuitive.

Il rotore di un campo vettoriale è un indice dell'ammontare di rotazione locale che si produce quando i punti dello spazio vengono "mossi" dal campo vettoriale (inteso come campo di velocità). Per esempio quando il rotore è nullo il campo è, almeno localmente, un gradiente e quindi il moto "assomiglia" a un moto rettilineo. Nel caso di dimensioni due questo riflette il fatto che le rotazioni avvengoni nel piano; nel caso tridimensionale è opportuno far riferimento all'asse istantaneo di rotazione.

La divergenza è un indice del cambiamento di volume di una regione fissata dello spazio quando i suoi punti vengono mossi dal campo vettoriale. Quando la divergenza di un campo vettoriale è nulla, le regioni dello spazio sono mosse dal campo vettoriale ma il volume di ciascuna di esse non viene modificato. Coerentemente a questa intuizione, è nulla la divergenza di un campo vettoriale che sia il rotore di un altro campo.

In altre parole, il rotore di un campo vettoriale ne individua la proprietà di originare una rotazione (locale) mentre la divergenza ne individua la proprietà di alterare il volume (per esempio il movimento di un fluido incompressibile è descritto da un campo vettoriale la cui divergenza è nulla).