Alla fine dell'Ottocento lo studio degli insiemi infiniti divenne argomento matematico, per opera soprattutto di Georg Cantor (1845-1918), in particolare con la dimostrazione che esistono diversi tipi di infinito, cioè di diversa cardinalità. Allora uno dei problemi generali da chiarire fu quali leggi si trasportassero dagli insiemi finiti a quelli infiniti. Il problema della scelta, che fu un catalizzatore di diverse di queste decisioni, è il seguente.

Dato un insieme infinito A i cui elementi sono a loro volta insiemi non vuoti, si può affermare che esiste un insieme che ha un solo elemento in comune con ciascuno degli infiniti dati, cioè degli elementi di A? Un tale insieme si chiama insieme di scelta per A.

Siccome non si possono eseguire di fatto una dopo l'altra infinite scelte, né temporalmente né in una struttura dimostrativa, che dovrebbe essere comunque infinita, molti pensavano che la risposta potesse essere affermativa solo nel caso si desse una legge per scegliere tali elementi.

Un esempio di Bertrand Russell è illuminante al riguardo: se si ha una lista infinita di paia di scarpe, si può definire una successione di scarpe tale che l'n-esima scarpa è presa dell'n-esimo paio; lo si può fare in più di un modo, ad esempio prendendo sempre la scarpa destra, oppure sempre la sinistra, oppure una destra e una sinistra alternate, oppure con altre regole ancora.

Ma se si ha una lista infinita di paia di calze una legge del genere non si può dare, perché le calze sono indistinguibili – e così sono gli elementi di un generico insieme.

Quello che non si può dimostrare si deve postulare, se lo si ritiene giusto. L'assioma di scelta afferma che un tale insieme di scelta esista sempre, e formalmente si può esprimere come l'affermazione che per ogni A esiste una funzione f di dominio A, e codominio l'unione di A, tale che f(x) ∈ x per ogni x ∈ A.

Ma la funzione può non essere definibile anche se A lo è, e ci sono esempi espliciti, in riferimento a precise nozioni di definibilità.

Per definire una legge, occorre che gli insiemi siano ordinati in modo che si possano individuare i loro elementi come primo o secondo o altro (nell'esempio di Russell destra-sinistra equivale a prima-seconda). Nel dominio degli insiemi finiti l'esistenza di un insieme di scelta segue dal fatto che ogni insieme finito si può ordinare – un insieme è finito infatti se i suoi elementi si possono contare. La possibilità di disporre di un tale ordine (tecnicamente: un buon ordine) su insiemi qualunque è per l'appunto equivalente all'assioma di scelta.

La necessità di fare appello a questo assioma si presenta a ogni passo nella teoria degli insiemi infiniti, in modo spesso nascosto e inaspettato. Il primo (salvo un'anticipazione di Beppo Levi) a riconoscere la necessità di un tale assioma esplicito e a darne una formulazione, diversa da quella moderna ma equivalente, fu Ernst Zermelo, nel 1904, sicché l'assioma è anche noto come principio di Zermelo: esso afferma che il prodotto cartesiano di un insieme di insiemi non vuoti è non vuoto (per esibire un suo elemento occorre scegliere una coordinata da ciascuno degli insiemi dati).

Ne esistono diverse versioni equivalenti, anche molto diverse tra loro, alcune delle quali sono i cosiddetti principi di massimalità, ad esempio: in un insieme parzialmente ordinato in cui ogni sottoinsieme totalmente ordinato ha un estremo superiore, esiste un elemento massimale. Con tale principio (di Max Zorn) si dimostra tra l'altro che ogni spazio vettoriale ammette una base.

Esistono poi versioni più o meno impegnative a seconda che si pongano restrizioni sulla cardinalità di A o dei suoi elementi.

Kurt Gödel nel 1938 e Paul Cohen nel 1963 hanno dimostrato che l'assioma di scelta è indipendente (rispettivamente, non refutabile e non dimostrabile) dagli altri assiomi non controversi della teoria degli insiemi (quelli che regolano l'esistenza di unione, potenza, sottoinsiemi di insiemi dati, codominio delle operazioni definibili, incluso ovviamente l'assioma dell'infinito).