Teorema 1. Ogni numero razionale ha un'espansione decimale che è periodica da un certo punto in poi.
Desidero far notare che in particolare l'espansione può essere finita, cioè con tutti zeri da un certo punto in poi.

Viceversa, vale:

Teorema 2. Ogni numero decimale, finito o periodico, è razionale.

La dimostrazione del Teorema 1 si basa sulla proprietà fondamentale dei numeri interi, detta teorema di divisione, che afferma quanto segue: Dati due numeri interi a > 0 e b ≥ 0, esistono due interi univocamente determinati q ≥ 0 ed r, con 0 ≤ r < a (quoziente e resto), tali che b = qa + r.

Supponiamo dunque che il numero razionale in questione sia n/m dove n ed m sono numeri interi primi fra loro, n ≥ 0, m > 0 . Per ottenerne l'espansione decimale eseguiamo successivamente le seguenti divisioni per m:

Sostituendo opportunamente otteniamo:

Osserviamo che si ha q_i < 10 per ogni i ≥ 1 e perciò l'espressione decimale di n/m è q,q₁q₂q₃....
Consideriamo ora la successione dei resti r₀,r₁, ..., r_m, ... : tali numeri sono tutti ≥ 0 e < m, quindi almeno due numeri nell'insieme {r₀, r₁, ... , r_m} sono uguali. Supponiamo che sia r_i = r_{i + d} con
0 ≤ i < i + d ≥ m. Allora, dividendo 10 r_{i + d} per m otteniamo lo stesso quoziente e lo stesso resto che avevamo ottenuto dividendo 10 r_i per m. Pertanto

e analogamente

Dunque l'espressione decimale di n/m è periodica.

Per esempio calcoliamo l'espansione decimale di 213/14:

e perciò

Vediamo infine come si dimostra il Teorema 2. Se x è un numero decimale finito, lo si può scrivere nella forma x = n,a₁a₂ ... a_k, perciò

Sia invece x un numero decimale periodico, del tipo ;si ha

è un intero m. Osservando che m = x · 10^k+r - x · 10^k, si conclude che

Per maggiori dettagli, si può consultare il libro di L. Childs: Algebra - Un'introduzione concreta, ETS Editrice, Pisa, 1989.