Si considerino due sistemi di riferimento inerziali, S ed S' ⁽¹⁾, schematizzati in termini di terne cartesiane ortogonali. Per semplicità, si supporranno le due terne parallele ed equiverse, con i piani coordinati sovrapposti, e si ipotizzerà che le origini delle due terne siano concidenti in un istante iniziale (t = 0); inoltre si considererà il sistema S' in moto nella direzione e nel verso positivo dell'asse x del sistema S con velocità v. Consideriamo ora un oggetto, schematizzato come punto materiale in non importa quale stato di moto. Ad esso saranno assegnate coordinate x,y e z rispetto al sistema S, x',y' e z' rispetto al sistema S'.

Che relazione esisterà fra le due terne di coordinate? Un po' acriticamente si può accettare l'idea che le cordinate y e z, visto che il moto si svolge nella direzione dell'asse x, coincideranno con le y' e z'. Un'occhiata alla figura, unitamente alla considerazione che, per ipotesi, l'origine di S' si muove (verso destra nella figura) di moto rettilineo uniforme con velocità v e che le origini erano sovrapposte all'istante iniziale ci porta a concludere che sarà

Si usa risolvere questa relazione in x', e scrivere accanto a essa le trasformazioni (identiche) riguardanti le altre due coordinate e il tempo, quest'ultima — si direbbe — pleonastica:

Sono le (2) che solitamente prendono il nome di trasformazioni di Galileo.

Ma torniamo un attimo sulla (1), per una considerazione che ci sarà utile in seguito. Consideriamo, per semplicità, un corpo — un punto materiale — in moto rettilineo uniforme rispetto al sistema S' con velocità u' nella direzione e nel verso positivo dell'asse delle ascisse di S' (e dunque anche di S): vogliamo dire (v. nota 1) che si tratta di un viaggiatore che sta camminando lungo il corridoio della sua carrozza? Se il treno viaggia — rispetto al sistema S della stazione — a velocità v, il viaggiatore viaggerà rispetto alla stazione stessa a una velocità u = v + u' (3). Per ragioni che vedremo, è importante osservare che la (3) è una conseguenza diretta e naturale della (1). Essa pone infatti in relazione anche incrementi della coordinata x dovuti con incrementi della coordinata x' al variare del tempo t secondo la relazione:

Dividendo membro a membro per vΔt, otteniamo

Poiché, per moti uniformi, è:

ritroviamo appunto la (3).

Passiamo alle equazioni di Maxwell. A proposito delle quali cercherò di ridurre al minimo il formalismo, che risulta alquanto più complicato di quello usato fin qui. Diciamo allora che sono le equazioni che compendiano ancora oggi le leggi dell'elettromagnetismo, leggi che collegano i campi elettrici e magnetici alle loro sorgenti, le cariche e le correnti elettriche, e fra di loro. Vi figurano costanti — la costante dielettrica e la permeabilità magnetica — che caratterizzano, dal punto di vista dei fenomeni elettrici e magnetici, il mezzo in cui operano cariche e correnti e vivono i campi elettrici e magnetici: aria, altri mezzi materiali, ma anche il vuoto. A caratterizzare il vuoto sono la costante dielettrica del vuoto ε₀ e la permeabilità magnetica del vuoto μ₀. Come tutti (o quasi) sanno, le equazioni di Maxwell prevedono che campi elettromagnetici possono propagarsi nel vuoto, e, come molti sanno, con una velocità

A quest'ultima conclusione conviene apporre alcuni commenti. Il primo: sì, la c così definita (incidentalmente, il simbolo c è stato scelto in quanto iniziale della parola latina celeritas) è effettivamente una velocità, ne ha cioè le dimensioni fisiche, come risulta dalle dimensioni fisiche delle due costanti che caratterizzano il vuoto. Il secondo: il valore numerico di c risulta, da quelli di ε₀ e μ₀, di circa 300 000 km/s. Poiché si sapeva che la luce si propagava nel vuoto approssimativamente con quella velocità, Maxwell fu indotto a concludere che propagazione della luce era in effetti propagazione di onde elettromagnetiche (con frequenze appartenenti a un intervallo definito). Il terzo: ma ε₀ e μ₀, in quanto caratterizzanti il vuoto, sono costanti universali; dunque deve essere tale anche c: ma come può una velocità essere una costante universale? Se il viaggiatore dell'esempio considerato prima fosse una "particella di luce", un fotone — il contraltare corpuscolare, secondo la meccanica quantistica, della luce come fenomeno ondulatorio — ed esso viaggiasse alla velocità c nel corridoio del treno, rispetto alla stazione dovrebbe viaggiare alla velocità c + v: che non è una costante universale perché dipende dal valore del tutto contingente di v; e poco importa, per un discorso di principio, che nell'esempio fatto c + v si scosti di pochissimo da c.

Accantoniamo per il momento il problema, sul quale torneremo brevemente in seguito, e veniamo — finalmente — al punto. Per affrontare il quale dovrò scrivere, anche nel contesto maxwelliano, un paio di formule. Seguirò qui da vicino la breve trattazione fornita da un classico: il trattato Classical Electrodynamics, di J.D. Jackson ⁽²⁾, p. 505, con qualche semplificazione. Dicevo prima che le equazioni di Maxwell prevedono che campi elettromagnetici possono propagarsi nel vuoto con velocità c. La cosa è descritta formalmente da un'equazione differenziale alle derivate parziali che descrive la propagazione come quella di un'onda. Se la propagazione avviene lungo l'asse x di un sistema di riferimento S, e se indichiamo con A l'ampiezza dell'onda, l'equazione assume la forma

dove l'ampiezza A sarà una funzione di x e di t. Ma l'onda si propagherà anche rispetto al sistema S'! Che forma assumerà l'equazione se scritta in termini delle coordinate x' e t'? Non proporrò tutti i conticini necessari, ma, giusto per fissare le idee, osserviamo che si ha a che fare con un'ampiezza A formalmente dipendente da x' e t'; nel calcolarne la derivata parziale rispetto a x, la si potrà pensare come funzione della x per il tramite delle x' e t'. Si avrà dunque

formula nella quale le derivate delle nuove coordinate rispetto a x si potranno calcolare facendo uso delle trasformazioni di Galileo ricordate sopra. Procedendo, lungo il cammino sommariamente indicato, al calcolo delle derivate seconde che figurano nella (4), si perviene all'equazione

L'equazione scritta nelle coordinate relative al sistema di riferimento S' ⁽³⁾ non ha dunque la stessa forma che essa aveva nelle coordinate relative al sistema di riferimento S. Diremo allora — è una definizione — che non è invariante sotto trasformazioni di Galileo.

Osservato che possiamo chiamare la (4) una legge di Maxwell, trarremo la conclusione generica che le leggi di Maxwell non sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo. E con questo avrei fornito la mia risposta, su cosa si intende per invarianza ma anche sul fatto che essa appare non esserci.

Se non fosse che appaiono necessarie alcune considerazioni ulteriori. La prima: ma, passando da S a S', non dovrebbe cambiare anche l'ampiezza? Jackson si pone la domanda nel suo libro; e si risponde con la frase che riporto qui nella mia traduzione e senza ulteriori commenti (ci fidiamo di lui), frase che fa seguito, nel libro, alla conclusione che io ho già espresso: "la forma dell'equazione d'onda non è invariante sotto trasformazioni galileiane. Inoltre, nessuna trasformazione cinematica su A ⁽⁴⁾ può riportare la (4') nella forma della (4)". La seconda: ma, secondo quanto dicevamo prima, nel passare da S a S' non dovremmo — diciamo così — lasciar cambiare anche la velocità della luce? Bel dilemma: in quanto è una velocità dovremmo; in quanto è una costante universale non dovremmo. La fisica è andata avanti, rispetto a questo punto, facendo propria la scelta di Einstein, che è la seconda. Il discorso relativo all'invarianza o meno sotto trasformazioni di Galileo rimane allora quello appena riportato; si trova però poi che la (4) — ma non solo: tutte le leggi maxweliane — sono invarianti sotto le trasformazioni, dette di Lorentz, che sostituiscono le
x' = x – vt e t' = t con le

Ma questo è un altro discorso.

Note

• Se volessimo precisare veramente il concetto finiremmo per farla un po' lunga: limitiamoci a dire, con qualche approssimazione, che si tratta di sistemi di riferimento in cui non si sentono accelerazioni. Aggiungendo anche, forse lo scrupolo non è eccessivo, che i sistemi di riferimento sono, a loro volta , una schematizzazione di corpi materiali. Vogliamo dire anche, in vista di un richiamo che dovremo fare in seguito, che questi "corpi" potrebbero essere una stazione e un treno che vi sta passando senza rallentare né accelerare?
• John Wiley & Sons, 1962/1975.
• Beninteso, è sempre possibile scrivere t al posto di t', dato che t si trasforma identicamente – almeno per le trasformazioni galileiane – nel passare da un sistema di riferimento all'altro, ma questo non cambia nulla ai fini delle considerazioni che stiamo facendo.
• L'autore usa un altro simbolo.