Diciamo, piuttosto, che la negazione del V postulato mise in crisi i matematici al momento in cui fu formulata, ovvero all'inizio del diciannovesimo secolo. Allora infatti le geometrie non euclidee (quelle ottenute negando il V postulato di Euclide) erano ritenute geometricamente assurde in quanto in contrasto col senso comune, e suscitavano l'ostilità della comunità matematica. Questo perché tra il XVIII e il XIX secolo il pensiero filosofico dominante era quello di Immanuel Kant (1724-1804), secondo cui la geometria euclidea esiste a priori nella nostra mente come strumento per la conoscenza della realtà.

Elaborare una nuova geometria in cui valesse la negazione del quinto postulato era quindi un'idea assolutamente sovversiva, in quanto negava la verità e unicità del sistema euclideo come modello interpretativo della realtà: forse per questo il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il primo ad accettare la possibilità di una geometria coerente in cui il V postulato fosse sostituito dalla sua negazione, si guardò bene dal rendere pubblico il suo pensiero.

D'altra parte, però, Euclide stesso considerava il quinto postulato "meno naturale" degli altri, e lo usava malvolentieri, tanto che non se ne servì assolutamente nella dimostrazione delle sue prime 28 proposizioni. Pensiamo infatti all'enunciato originale del V postulato:

"se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta"

Non è facile, in effetti, accettarlo come verità evidente, derivante dall'esperienza fisica: in certi casi infatti il punto di intersezione va immaginato talmente lontano da andare al di là di qualunque esperienza fisica diretta.

Oggi, comunque, la geometria non euclidea ci sembra del tutto accettabile e naturale, e la vediamo come una delle tante possibili: questo perché il nostro punto di vista è radicalmente cambiato, non ci interessa più l'attinenza coi fenomeni del mondo reale e questo ci rende liberi di stabilire, a patto che sia conservata la coerenza, le "regole del gioco". Possiamo dire che pensiamo alla geometria in un modo diverso: non si tratta più di geo-metria, misura della Terra, ma di una costruzione coerente che prende il via da una adeguata "definizione assiomatica", nel senso che segue.

Supponiamo di dover spiegare cos'è il gioco della pallavolo: bisogna innanzitutto specificare gli oggetti coinvolti (la palla, la rete, i giocatori), e poi le regole (il numero di giocatori, le dimensioni del campo, l'altezza della rete). A questo punto, potremo definire il gioco della pallavolo come quel complesso di azioni che derivano dal combinare gli oggetti nel rispetto delle regole.

La costruzione di una geometria può essere vista come qualcosa di analogo: bisogna fissare in primo luogo gli oggetti (enti primitivi) e poi le regole di base (assiomi e postulati). La geometria che ne deriva sarà il complesso di deduzioni logiche (proposizioni e teoremi) che si possono ottenere da tali oggetti e tali regole.

Tornando alla pallavolo: consideriamo la regola «ogni squadra è composta da 6 giocatori, che giocano in un campo di parquet». Cambiare tale regola in «ogni squadra è composta da 2 giocatori, che giocano in un campo di sabbia», è perfettamente lecito. Semplicemente, cambierà il gioco e, in modo che tutti capiscano, cambierà anche il nome, da pallavolo a beach volley.

Allo stesso modo, nulla vieta di costruire geometrie usando solo alcuni dei postulati, o sostituendo un postulato con un altro, magari in contrasto col precedente: cambieranno alcune delle conseguenze, e la geometria che otterremo sarà denotata con un nome diverso, in modo da non creare nessuna confusione.

La geometria euclidea ha come regole i 4 assiomi e i 5 postulati fissati da Euclide negli Elementi. Se ci liberiamo dell'imbarazzante V postulato, otteniamo la geometria detta assoluta o neutrale, mentre se sostituiamo il V postulato con una sua negazione otteniamo una geometria non euclidea (ellittica o iperbolica): presentate in questo modo, è evidente che tutte queste geometrie hanno lo stesso diritto di esistere, e studiare una o l'altra non mette in crisi alcunché!