Esistono molti tipi di integrazione. Le due definizioni principali, che lo studente incontra nel proprio corso di studi, sono l'integrazione secondo Riemann e l'integrazione secondo Lebesgue.

Il concetto di integrale secondo Riemann è utilizzato nel calcolo elementare per integrare funzioni di una variabile reale. Nasce storicamente dall'esigenza di misurare l'area di una figura piana con contorno curvilineo. Si applica a funzioni continue e a funzioni discontinue che non abbiano troppi punti di discontinuità. Si può estendere a funzioni di più variabili reali.

Il concetto di integrale di Lebesgue è invece più generale. Si applica a insiemi i cui elementi non sono necessariamente numeri reali, dove la nozione di integrale di Riemann non sarebbe possibile. Presenta molti vantaggi teorici rispetto alla teoria di Riemann, e si usa prevalentemente nell'ambito della ricerca.

In casi opportuni, può essere considerato come un'estensione dell'integrale di Riemann: infatti, se una funzione (limitata su un intervallo chiuso e limitato [a,b]) è integrabile secondo Riemann, allora lo è anche secondo Lebesgue e i valori dei due integrali coincidono.

Tramite questa seconda nozione, è possibile dare un senso all'integrale per una classe di funzioni molto più ampia. Un esempio classico di funzione integrabile secondo Lebesgue, ma non secondo Riemann, è la celebre funzione di Dirichlet:

f(x)=1

se x è un numero razionale,

f(x) = 0

se x è un numero irrazionale.

Infine, due parole sul cosiddetto integrale di Stieltjes. Anche qui, ne esistono due tipi, Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. Si tratta in realtà di casi particolari dei due descritti in precedenza, e hanno un ruolo importante in alcune applicazioni, per esempio nel calcolo di valori medi e varianze in probabilità elementare.

Dal glossario:

http://ulisse.sissa.it/funzioni.jsp
- Funzioni continue
- Integrabile secondo Riemann, funzione
- Intervallo

Tanti, sì. Tanti tipi di integrazione, o meglio tante teorie, spesso costruite ad hoc per risolvere un problema specifico, e non tutte ancora ben sistemate matematicamente. Per esempio, c'è un integrale di Feynman che da non pochi grattacapi ai matematici...

Si, direi che tutte sono state utilizzate a fini pratici, anzi sono state introdotte proprio per quello. Certo, ci potrà essere stato qualche matematico visionario che ha costruito la sua teoria astrusa, non so..