Feynman e le due fenditure

Se ho bene capito, nella formulazione di Feynman della meccanica quantistica, nel famoso esperimento dell'elettrone sparato su una barriera con due fenditure, con gli elettroni che vanno a poco a poco a formare linee di interferenza sulla parete di fondo dietro la barriera, un elettrone passa contemporaneamente attraverso entrambe le fenditure e in più percorre simultaneamente tutte le traiettorie possibili per andare da dove è sparato fino alla fenditura.

Come è possibile? La formulazione di Feynman deve essere accettata solo perchè matematicamente coerente con le altre formulazioni? Come può un elettrone percorrere più traiettorie? Come può percorrerle simultaneamente visti i limiti della relatività ristretta?

Fabio Gallagher
22 aprile 2005
La domanda e la perplessità di chi l'ha formulata è comprensibile. In realtà, le diverse traiettorie non si riferiscono a un singolo elettrone, ma all'insieme di elettroni (tutti lanciati nello stesso modo) che via via concorrono a formare le linee di interferenza. Tutto va come se ad ogni lancio l'elettrone seguisse una traiettoria differente, che passa o in una o nell'altra fenditura.

Le traiettorie sono curve continue che uniscono il punto di partenza e di arrivo degli elettroni e non possono dividersi: ogni elettrone passa quindi in una fenditura alla volta. La teoria assegna una ben determinata (ampiezza di) probabilità ad ogni traiettoria. Siccome il seguire una traiettoria o l'altra sono eventi che si escludono a vicenda, la (ampiezza di) probabilità totale di arrivare al punto dato sullo schermo partendo da un punto dato prima delle fenditure è la somma delle (ampiezze di) probabilità associate ad ogni traiettoria singola (somma o integrale di Feynman).

È evidente che (l'ampiezza di) probabiltà non si riferisce a un singlo elettrone, ma solo al risultato di un gran numero di prove con un gran numero di elettroni differenti (il cosiddetto "ensemble"). Questo risolve i paradossi sollevati dall'autore della domanda.

È importante notare che se nel quadro descritto sopra si toglie dappertutto la locuzione "ampiezza di" si ottiene la regola per calcolare le probabilità di arrivo di un moto casuale classico: il moto browniano.

Feynman ha formulato la sua teoria delle traiettorie (o cammini) notando l'analogia formale tra l'equazione di Schrödinger della meccanica quantisitica e l'equazione di diffusione che governa il moto browniano. Nel caso browniano, però, essendo le particelle classiche, possiamo osservare il moto della singola particella. Tale moto, visto al microscopio, appare come una specie di danza casuale a zigzag (moto dell'ubriaco). Il modello a traiettorie continue citato sopra si applica al moto browniano per calcolare le probabilità di trovare la particella in un dato punto e, come è noto, le probabilità corrispondono a un gran numero di prove. Il moto osservato della singola particella browniana è molto diverso dalla traiettoria continua che unisce il punto di partenza e quello di arrivo usata per calcolare la probabilità. Nel caso quantistico, poi, il moto di una singola particella non è, per principio, osservabile e l'unica cosa che la teoria prevede (e che gli esperimenti possono misurare) è la probabilità, calcolata come modulo quadrato dell'ampiezza di probabilità (complessa) che, a sua volta, si può calcolare con il metodo dei cammini di Feynman.

Enrico Santamato Dipartimento di Scienze Fisiche, Università di Napoli Federico II
Keywords: ottica, fisica

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