Cominciamo con lo sgomberare il campo da un equivoco: non si tratta di analisi matematica ma di aritmetica oppure di algebra, dipende da che punto si guarda la domande.
La regola "più per meno fa meno" compare nell'insieme dei numeri interi

Z = { 0, ±1, ±2, ±3, ...}.

In Z, possiamo parlare di opposto di un numero. L'opposto del numero a è quel numero x che sommato ad a dà come risultato zero: cioè è l'unica soluzione dell'equazione a+x=0. Questa soluzione si indica con -a. Un esempio notevole, e che ci serve nel seguito, è -1, che è l'opposto di 1.

Di più: l'insieme Z è costruito a partire dall'insieme dei numeri naturali

Z = { 0, 1, 2, 3, ...}

proprio aggiungendo a questo gli opposti di tutti i suoi elementi.

Naturalmente in Z abbiamo una moltiplicazione, ·, che è quella classica che conosciamo tutti e che compare nella regola che ci interessa.
Nei termini dei numeri interi, la regola "più per meno fa meno" si traduce come

(-1)·(+1)=-1.

E ora si tratta di dimostrarla, vale a dire di capire quanto è il numero (-1)·(+1).

La dimostrazione sembra un po' astrusa ma funziona. Per ottenerla, bisogna solo ricordarsi che l'equazione a+x=0 ha una e solo una soluzione e che questa è l'opposto di a.

Veniamo ai conti e per farli prendiamo un numero intero qualsiasi a che non sia lo zero. E calcoliamo quanto fa

a + (-1)·(+1)·a.

Come prima cosa, sappiamo che 1 è l'elemento neutro della mopltiplicazione, cioè moltiplicato per un numero qualsiasi lo lascia invariato: (+1)·a=a. Quindi abbiamo che

a + (-1)·(+1)·a = a + (-1)·a.

Però abbiamo anche che a=(+1)·a e quindi

a + (-1)·(+1)·a = a + (-1)·a = (+1)·a+ (-1)·a.

Se nell'ultimo passaggio raccogliamo un a, otteniamo

a + (-1)·(+1)·a = a + (-1)·a = [+1+(-1)]·a.

Ma -1 è l'opposto di +1 e quindi l'espressione dentro la parentesi quadra vale zero e quindi tutto il prodotto vale zero. Cioè

a + (-1)·(+1)·a = 0.

Abbiamo così scoperto che a + (-1)·(+1)·a fa zero, oppure, detto altrimenti, che (-1)·(+1)·a è l'unica soluzione dell'equazione a+x=0. Ma l'unica soluzione di questa equazione non è altro che -a, cioè

(-1)·(+1)·a = -a.

Questa relazione vale per ogni a, in particolare anche per a=1, dalla quale si ottiene

(-1)·(+1) = -1

che è proprio la regola "più per meno fa meno".

Due osservazioni per concludere:

1. in modo simile si mostra che "meno per meno fa più"
2. all'inizio della risposta ho detto che si trattava di un fatto di aritmetica (come è in questa dimostrazione) o di algebra. Infatti, questa stessa regola, vale in contesti molto più generali dell'insieme dei numeri interi Z. In particolare vale in quelle strutture algebriche che si chiamano anelli e che si riconoscono perchè hanno un'addizione e una moltiplicazione (ovviamente con tutta una serie di buone proprietà...).