Le questioni sollevate in questa domanda richiederebbero una risposta molto ampia e articolata dato che la risoluzione delle equazioni risale all'antichità e ha accompagnato l'intero sviluppo della matematica fino ai nostri giorni. Si possono comunque indicare schematicamente alcuni punti nodali, accompagnandoli con qualche esempio tratto da testi di storia della matematica.

In prima approssimazione si può dire che il concetto di equazione e di sistema di equazioni non ha subito sostanziali mutamenti: le equazioni e i sistemi sono stati impiegati per risolvere problemi di varia natura i cui enunciati sono rimasti sostanzialmente inalterati col passare del tempo.
Ad esempio, nelle tavolette di argilla risalenti alla civiltà assiro-babilonese (dinastia di Hammurabi, XVI-XVIII secolo a.C.) sono presenti molti problemi di secondo grado quale il seguente (nel quale scriviamo i numeri nel nostro sistema di numerazione):

"Lunghezza, larghezza. Ho moltiplicato la lunghezza per la larghezza e ho fatto una superficie. Ho aggiunto alla superficie ciò di cui la lunghezza supera la larghezza e ciò fa 183. La lunghezza e la larghezza insieme fanno 27. Quanto sono la lunghezza e la larghezza?".

Esso si traduce nel sistema

La risoluzione proposta nella tavoletta illustra come già quasi due millenni prima di Cristo fosse nota la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

In un papiro Egizio risalente al 1650 a.C. si trova il problema di determinare il valore del mucchio (cosí era detta l'incognita), se il mucchio e un settimo del mucchio sono uguali a 19. Si tratta di risolvere l'equazione che oggi scriveremmo

Nella cultura greca questi problemi numerici, non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media, non erano ritenuti importanti poiché di natura applicativa: la vera matematica era la geometria. Pertanto, presso i Greci sia il calcolo letterale, sia l'algebra erano vincolati all'interpretazione geometrica. Già la semplice scrittura della generica equazione di primo grado, ax = b, era inconcepibile dato che ax, essendo un prodotto, rappresentava un rettangolo e b un segmento, e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea. Un'equazione di primo grado poteva essere, ad esempio, ab = qx, e veniva espressa nel modo seguente:

"Dato il rettangolo di dimensioni a e b, determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q".

La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente

Dato il rettangolo ABCD di dimensioni a e b, si prolunga AB di un segmento BE pari a q. Costruito il rettangolo BEFC, si individua il punto G come intersezione dei prolungamenti di FB e di DA. Completando il rettangolo FDGH si determina il rettangolo LHEB avente un lato pari a q e l'altro che risolve l'equazione, dato che, come è evidente dalla figura, i rettangoli ABCD e LHEB sono equivalenti (si ottengono sottraendo dai triangoli uguali GDF e GHF le coppie di triangoli uguali BCF e BEF, GAB e GLB).

Il famoso algebrista arabo al-Khuwarizmi, nella sua opera Al-gebr we'l mukabala del IX secolo d.C., illustra con esempi la risoluzione di vari tipi di equazioni di secondo grado (va ricordato che l'uso dei numeri negativi è molto recente, per cui, in corrispondenza di ogni grado, si distinguevano varie equazioni) e fornisce una dimostrazione geometrica delle formule impiegate.
Descriviamo come risolve le equazioni del tipo x² + ax = b (per rispettare l'omogeneità della formula b era detto radice). Si considera un quadrato di lato x (ossia di area x²) e sui suoi lati si costruiscono quattro rettangoli aventi come altro lato a/4. L'area del quadrato più i rettangoli è pari a x² + 4a/4 = x² + ax, ossia al primo membro dell'equazione, che quindi è uguale a b. Completando la figura con quattro quadrati aventi ciascuno area a²/16, si ottiene un quadrato più grande, di area a²/4 + b, il cui lato è .

L'incognita x si ottiene togliendo dal lato del quadrato grande il doppio del lato dei quadrati più piccoli:

È quindi necessario tener presente come, almeno in generale, la risoluzione delle equazioni fosse vincolata all'interpretazione geometrica limitando cosí il grado a tre. Solo nel sedicesimo secolo l'algebra iniziò un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria, quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche, ma numeri: attraverso l'opera di F. Viète (1540-1603) e R. Descartes (Cartesio,1596-1650). Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco più di due secoli fa, nell'Introduzione completa all'algebra (1770) di L. Euler (Eulero,1707-1783).

Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio. In precedenza (algebra retorica) operazioni, equazioni con la loro risoluzione, venivano espressi con parole (ad esempio l'incognita veniva detta la "cosa", il suo quadrato il "censo", la sua terza potenza il "cubo", la quarta potenza "censo censo") ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi. Ne seguí una fase intermedia (algebra sincopata), in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzate: ad esempio Luca Pacioli (1445-1514), autore dell'opera Summa de Arithmetica (1523), che contribuí alla diffusione in occidente dell'uso delle cifre arabo-indiane, indicava con "co" l'incognita, con "ce" il suo quadrato, con "cu" il suo cubo e con "p" e "m" l'addizione e la sottrazione. Solo in seguito l'algebra ricevette la veste che la rende simile alle attuali esposizioni (algebra simbolica).

Prima di allora i testi di aritmetica e algebra venivano scritti completamente in lingua (prima in latino, poi in volgare), e lentamente furono arricchiti con simboli. La lettura di queste opere è assai complessa: solo pochi studiosi di matematica erano in grado di capirle e di risolvere problemi che oggi sono alla portata degli studenti del primo biennio delle scuole superiori. Come l'introduzione del sistema decimale ha consentito a tutti di fare calcoli con i numeri, cosí l'introduzione del calcolo letterale e delle sue applicazioni agli altri settori della matematica ha messo a disposizione di tutti uno strumento di grande efficacia per risolvere problemi che in precedenza solo pochi esperti erano in grado di affrontare.

Vediamo un esempio dal trattato di Al-Khuwarizmi che ci sembra particolarmente istruttivo per illustrare la difficoltà di lettura dei trattati di algebra prima dell'avvento del simbolismo (e si noti che il problema è dei più semplici).

"Ho diviso dieci in due parti, poi ho moltiplicato ogni parte per se stessa e preso la somma delle due, che fa cinquantotto dirham. Poni una della due parti una cosa e l'altra dieci meno una cosa. Moltiplica dieci meno una cosa per se stesso, fa cento più un censo meno venti cose, poi una cosa per una cosa, fa un censo. Poi addiziona entrambi, fa cento più due censi meno venti cose, equivalente a cinquantotto dirham. Restaura il cento più due censi con le venti cose mancanti e portale ai cinquantotto, fa allora cento più due censi equivalente a cinquantotto dirham più venti cose. Riporta a un unico censo prendendo la metà di tutto ciò che hai. Fa cinquanta dirham più un censo equivalente a ventinove dirham più dieci cose. Diminuiscilo, cioè sottrai da cinquanta ventinove, rimane ventuno più un censo uguale a dieci cose. Dimezza le radici, fa cinque, moltiplicalo per se stesso, fa venticinque. Sottrai da questo il ventuno legato al censo, rimane quattro. Prendi la sua radice che fa due e sottrai questo dalla metà delle radici, cioè cinque. Rimane tre che è una delle due parti e l'altra è sette. Questo problema ti ha riferito uno dei sei casi, cioè censi più numeri equivalente a radici".

Il procedimento descritto col nostro linguaggio simbolico è il seguente:

La difficoltà di eseguire calcoli e passaggi in forma retorica giustifica procedimenti di risoluzione che oggi ci appaiono alquanto artificiosi. Ad esempio gli egiziani, per risolvere il problema prima enunciato, attribuivano all'incognita un valore opportuno (e ciò in seguito venne detto metodo di falsa posizione) ed eseguivano i calcoli a primo membro. Confrontando il valore ottenuto col secondo membro, risalivano alla soluzione con una proporzione. In termini moderni si dà ad esempio a x il valore 7 (e ciò consente di fare i calcoli senza dover sommare frazioni): se x = 7, il primo membro vale 7 + 7/7 = 8. La soluzione dell'equazione si trova con la proporzione x : 7 = 19 : 8 , da cui x = (19·7)/8 = 133/8.

La regola di falsa posizione fu elaborata anche dai matematici arabi medioevali. Data l'equazione ax + b = 0, si scriveva la soluzione mediante una formula che possiamo giustificare nel modo seguente. Si attribuisce a x il valore h e si calcola il valore k del primo membro ah + b = k. Sottraendo membro a membro si ricava a e si ottiene a = k/(h-x) . Si sostituisce a nell'equazione data e, risolvendo rispetto a x, si trova x = [h(k-b)-hk]/(k-b) . Ad esempio, data l'equazione x/3 + x/4-21 = 0, dando a x il valore h = 12, si trova k = ñ14, e quindi x = [12(-14 + 21) + 12·14]/(-14 + 21) = 36.

Nell'algebra retorica questo metodo apparentemente complesso evitava di sommare i termini simili e, scegliendo opportunamente il valore di h, si evitavano calcoli con le frazioni nella determinazione di k.
Nei testi di algebra questo metodo è comparso fino a epoca relativamente recente. Nel manuale Elementi di aritmetica, di V. Buonsanto (Napoli, 1843) si legge ad esempio:

"Si andrà in cerca di un numero che sciolga un quesito: ma voi nol troverete altrimenti che per mezzo di un numero falso, che non lo scioglie. Ecco in che consiste il metodo di falsa posizione semplice. Vi sia stato detto:un terzo ed un quarto del mio danaro sono 24 ducati. Quanto danaro ho io? Ignorando il vero numero de' ducati, supponete che chi vi ha parlato ne abbia 12. Questo numero cosí arbitrariamente supposto si chiama posizione. Ma è facile vedere esser falsa una tale supposizione, perché il terzo e il quarto di 12 sono 4 + 3 = 7: e perciò il vostro amico dovrebbe avere non 24 ducati per un terzo e un quarto, ma 7. Dite però cosí. Se 7 nasce dalla falsa posizione 12; il 24 da qual numero nascerà? Farete dunque 7 : 12 = 24 : 288/7 e 288/7 = 41 e 1/7. Per sciogliere simili quesiti si può supporre qualunque numero: ma giova soprattutto il supporlo tale che non involga la noia delle frazioni. Giova parimenti supporlo piccolo".

Interessanti considerazioni si potrebbero trarre dalle complesse vicende storiche che hanno condotto gli algebristi italiani del Cinquecento, Scipione Dal Ferro (circa 1465-1526), Niccolò Tartaglia (circa 1500-1576), Gerolamo Cardano (1501-1576), Ludovico Ferrari (1522-1565) e Rafael Bombelli (circa 1526-circa 1573), alla scoperta delle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, ad esempio il fatto che i passaggi algebrici non erano ancora ritenuti una dimostrazione e che occorresse una dimostrazione di tipo geometrico e la nascita dei numeri complessi.
Dobbiamo per brevità rinviare ai testi di storia della matematica per ripercorrere queste vicende fino alla dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (un'equazione di grado n = 1 ha sempre n soluzioni distinte o coincidenti nel campo complesso).

La teoria della risoluzione dei sistemi si è sviluppata parallelamente a quella delle equazioni, e quindi le sue origini risalgono all'antichità. Come è noto, la risoluzione generale dei sistemi di primo grado è oggi associata alla teoria delle matrici e dei determinanti. L'idea di scrivere i coefficienti e i termini in un quadro di numeri risale già ai matematici cinesi del secondo secolo prima di Cristo. In occidente la storia ha origini più recenti, con lo sviluppo dell'algebra iniziato nel Cinquecento. Nell'Ars Magna (1545) di Gerolamo Cardano (1501-1576) compare una regola per risolvere i sistemi lineari di due equazioni in due incognite che, nella sostanza, equivale alla nota regola di Cramer. Molti importanti matematici hanno fornito contributi alla teoria delle matrici e dei determinanti. Ad esempio lo scozzese Colin Maclaurin (1698-1746) nel suo Treatise of Algebra (1730) dimostrò la regola di Cramer per i sistemi lineari con due e tre incognite, e fu appunto Gabriel Cramer (1704-1752) a proporre, in un saggio del 1750, la regola generale per i sistemi di n equazioni e n incognite. Fu comunque Augustin Louis Cauchy (1789-1857) a usare il termine determinante in senso moderno, anche se la teoria dei determinanti e delle matrici cosí come la si presenta attualmente fu elaborata nel corso del XIX secolo da Carl Gustav Jacobi (1804-1851), da James Joseph Sylvester (1814-1897) e da Arthur Cayley (1821-1895), il quale introdusse la notazione tuttora in uso delle sbarre verticali e presentò nel 1858 la prima definizione astratta di matrice e la relativa algebra delle matrici nella quale, come è noto, il prodotto non è commutativo.

Ritornando alle equazioni, un momento particolarmente significativo è stato la dimostrazione all'inizio dell'Ottocento del teorema di Ruffini-Abel che ha sancito l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni generali di grado superiore al quarto. Nella individuazione delle equazioni di grado superiore al quarto risolubili per radicali, Evariste Galois (1811-1832) aprí la strada verso l'algebra moderna, intesa come scienza delle strutture astratte (gruppi, anelli, corpi, campi, spazi vettoriali), che verso la fine dell'Ottocento hanno profondamente mutato lo scenario della matematica.

Per approfondimenti:

R. Franci, L. Toti Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia, Milano 1979.
G. T. Bagni, Storia della matematica, Pitagora Editrice, Bologna 1996.