"Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, sì da differirne alle fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è chiamata il limite di tutte le altre".

Definisce poi sia la nozione di infinitesimo, una "variabile che ha zero come limite", sia quella di infinito, una variabile i cui successivi valori numerici "crescono sempre più, in modo da superare ogni numero dato". Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la successione delle somme parziali delle serie.

La formulazione che oggi usiamo per il limite di una funzione in termini di epsilon-delta, è successiva ed è dovuta principalmente a Karl Weirstrass (1815-1897). A Cauchy va il merito di aver dato una rigorosa sistemazione a un concetto che già da molto tempo era trattato dai matematici. Facendo un percorso a ritroso, possiamo osservare che già attorno alla metà del XVIII secolo la voce limite appare nell'Encyclopedy di Diderot e d'Alembert. D'Alembert, che compila la voce assieme all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la teoria del limite alla base del calcolo differenziale, calcolo che era stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato sull'uso degli infinitesimi. Le cosiddette “prime e ultime ragioni” della Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687) di Newton non sono altro che un modo un po' contorto per esprimere che due rapporti tendono allo stesso limite; il bolognese Pietro Mengoli nella sua Geometriae speciosae elementa (1659) aveva dedicato un capitolo alla teoria dei limiti, fornendo diverse proprietà e teoremi e mostrando di avere un'idea ben chiara di grandezza che tende all'infinito (quasi infinita), che tende a zero (quasi nulla) o di due grandezze che tendono allo stesso limite (quasi aequales). Ma già i greci calcolavano dei limiti di successioni, mediante il procedimento oggi detto metodo di esaustione.

Il metodo d'esaustione, ideato da Eudosso di Cnido (c.a. 408-355 a.C.), è un procedimento per confrontare due grandezze omogenee (aree, volumi), non equiscomponibili rispettivamente in un numero finito di triangoli o parallelepipedi, attraverso il confronto per equiscomponibilità di grandezze omogenee incluse nella data o includenti la data e a questa appossimentesi. Col metodo d'esaustione Eudosso mostrò che una piramide è la terza parte del prisma avente la stessa base e stessa altezza, come pure un cono rispetto al cilindro con stessa base e stessa altezza. Ne fece uso anche Euclide, mediante il quale dimostrò che il rapporto tra l'area del cerchio e quadrato del diametro è costante, come pure tra volume della sfera e cubo del diametro. Il più geniale maestro nell'uso del metodo di esaustione fu Archimede, mediante il quale ottenne quelle che oggi noi diciamo le formule per trovare l'area del cerchio, la superficie o il volume di una sfera e altri risultati ancora. Per esempio, approssimò il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti a partire dal quadrato e raddoppiando via via il numero dei lati e sostanzialmente provò che le aree di tali poligoni tendono (quelli circoscritti per eccesso e quelli inscritti per difetto) a una stessa grandezza, che è l'area del cerchio o anche di un triangolo rettangolo avente un cateto lungo come il raggio del cerchio e uno lungo come la circonferenza. Sempre col metodo d'esaustione e approssimando l'area di un segmento di parabole con quella di poligoni ottenuti dall'unione di successivi e opportuni triangoli, mostrò che l'area del segmento di parabola è i 4/3 di quella del triangolo inscritto in tale segmento.

Possiamo quindi dire che le prime applicazioni del procedimento infinito di limite sono state per calcolare aree e volumi. Ma il limite è anche l'unico strumento con cui poter - per così dire - “maneggiare con sicurezza” tanto gli infinitesimi che gli infiniti. Oggi è il fondamento di tutto il calcolo differenziale (derivate) e integrale, le cui applicazioni sono numerosissime, non solo in matematica e fisica, ma in tutte le scienze.

Sviluppare una tesina sul concetto di limite mi sembra un'ottima scelta; c'è solo il pericolo di non lasciarsi prendere dai troppi argomenti a esso connessi.