Infatti, quale potrebbe essere una prima risposta? Questa: è vero che ogni punto ha area zero (o lunghezza zero, un'analoga questione si ha per segmenti e lunghezze), ma quando andiamo a considerare l'area di una qualche figura abbiamo che essa è costituita da infiniti punti!

Quindi si può ben dire che se un punto ha area zero, anche una configurazione di 3, 6 o 13 000 punti avrà area zero... (tredicimila volte zero è sempre zero), ma la cosa cambia se la quantità di punti è infinita. Se consideriamo una qualsiasi figura geometrica, ad esempio un quadrato, esso è costituito da infiniti punti, ed allora non abbiamo un metodo che coinvolga solo la matematica elementare (le quattro operazioni) per passare da considerazioni sui singoli punti a quelle sul quadrato, che ne contiene infiniti.

In altre parole non possiamo eseguire il prodotto 0 · ∞ (il simbolo "∞" è quelllo usualmente usato per l'infinito); ∞ non è un numero...

Le considerazioni sull'infinito hanno portato a notevoli difficoltà per ammettere e regolare il suo uso in matematica ed a notevoli paradossi (famosi quelli di Zenone, fra i quali ce ne sono alcuni che più o meno equivalgono alla domanda da cui siamo partiti). Una esposizione di questi temi richiede un certo spazio, per il quale rimando ad alcune esposizioni da me fatte nel sito:
http://www.dm.unibo.it/matematica/Achille/akille.htm
oppure al bel libro di P. Zellini, Breve storia dell'infinito, Ed. Adelphi.