Non so se π contenga ogni possibile terzina. Esiste però un argomento abbastanza classico, lo studio dei numeri normali che dà alcune risposte significative a un problema più generale.

Sia α un numero reale e sia B_k una successione di k cifre decimali. Indichiamo con A_N(B_k) il numero di "blocchi" uguali a B_k (che possono anche essere parzialmente sovrapposti) contenuti nella successione delle prime N cifre decimali di α. Se ad esempio B₃=123 e α =0,37639863112312441231... abbiamo A₂₀( B₃) =2. Se, per ogni k e per ogni scelta di B_k, si ha

diciamo che il numero α è normale. Quindi un numero è normale se qualsiasi blocco di cifre appare con la dovuta regolarità (10 ^{- k} è la probabilità che un blocco di k cifre preso a caso sia uguale B_k). È chiaro che nessun numero razionale è normale, cosí come è chiaro che esistono numeri irrazionali non normali (è più che sufficiente che una data cifra non sia mai presente). Vale tuttavia il seguente risultato.

Teorema. Quasi (nel senso della misura di Lebesgue) ogni numero reale è normale.
Lo studio dei numeri normali è facilitato dal seguente risultato che li collega ad un argomento più noto e importante.

Lemma. α è normale se e solo se la successione { 10^j α } delle parti frazionarie dei numeri 10^j α è uniformemente distribuita su [0,1].
Una successione infinita di punti in [0,1] è uniformemente distribuita se ogni intervallo [a,b] [0,1] ne contiene (asintoticamente) il numero giusto (che è N(b-a) ). Cioè se per ogni [a,b] si ha

Il risultato più importante sulle successioni uniformemente distribuite è forse il teorema di Hermann Weyl, che le collega allo studio delle somme esponenziali.

Criterio di Weyl. Una successione a_j a valori in [0,1] è uniformemente distribuita se e solo se per ogni k≠ 0 (intero) si ha

La dimostrazione dipende dalla completezza del sistema trigonometrico, ma è interessante osservare che l'enunciato riguarda una somma di numeri complessi di modulo 1 , che è piccola quanto più i numeri sono "ben disposti" sulla circonferenza unitaria.
Il criterio di Weyl permette ad esempio di dimostrare che per ogni numero irrazionale β la successione { jβ} delle parti frazionarie dei numeri j β è uniformente distribuita su [0,1].
Quest'ultimo risultato ammette un'estensione interessante.

Teorema. Sia p_j una successione di numeri interi distinti. Allora, per quasi ogni numero reale α , la successione {p_jα } delle parti frazionarie dei numeri p_jα è uniformemente distribuita su [0,1].
Scegliendo p_j=10^j si arriva così allo studio dei numeri normali.