Caro Andrea,

l'anello Z₃ è un insieme molto semplice, formato da soli tre numeri (0, 1 e 2), con due operazioni: l'addizione e la moltiplicazione.
Per capire come sono definite queste operazioni, devi immaginare che i tre numeri siano i resti dalla divisione per 3 (da qui il 3 nel nome Z₃ dell'anello) di uno qualsiasi dei numeri naturali. Nella tabella qui sotto trovi alcuni numeri nella prima riga e i resti della loro divisione per 3 nella seconda

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2

come vedi, man mano che i numeri si susseguono, i resti si ripetono ciclicamente – tant'è che Z₃ si chiama anche gruppo ciclico (di ordine 3).
Ciascuna delle colonne della tabella può essere riscritta in un modo "più matematico" con la seguente notazione

8 = 2 mod3
9 = 0 mod3
16 = 1 mod3

che si leggono "8 è uguale (o meglio congruo) a 2 modulo 3", "9 è uguale (o meglio congruo) a 0 modulo 3", "16 è uguale (o meglio congruo) a 1 modulo 3".

Puoi verificare che la congruenza modulo 3 è un'equivalenza, cioè è riflessiva (n = n mod3), simmetrica (se n = m mod3 allora m = n mod3) e transitiva (se n = m mod3 e m = p mod3 allora n = p mod3). Allo stesso modo, puoi verificare che i resti si "comportano bene" rispetto all'addizione e alla moltiplicazione (dei numeri naturali); e questo ci permette di definire l'addizione (+) e la moltiplicazione (x) in Z₃ con le due seguenti tabelline pitagoriche

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

x 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

Detto questo non è difficile definire i polinomi che ti interessano (x² e x³ +x² -x) per mezzo di un'ultima tabella (tieni conto che i valori da calcolare sono solo tre!)

x	0	1	2
x2	0	1	1
x3 +x2 -x	0	1	1

E da questa puoi ben vedere che le due funzioni sono la stessa.
Quello che non hai osservato è che i due valori che tu citi (4 e 10) in Z₃ coincidono, perchè i numeri naturali 4 e 10 sono congruenti modulo 3 ed equivalgono entrambi a 1.

Potresti infine desiderare sapere perchè i due polinomi coincidono. Provo a risponderti un po' più generalmente.
Come forse sai, è possibile costruire il gruppo ciclico Z_n non solo con n = 3 ma con ogni numero naturale. Ebbene, se tu prendi il caso particolare in cui n sia un numero primo p, in Z_p si verifica il seguente fatto

x^p – x è sempre congruente a 0, per ogni numero x di Z_p.E da questo segue che ogni polinomio P(x) si può scrivere come P(x) + x^p – x, senza che nulla cambi.
E questo è proprio quanto è successo a x² nella tua domanda.