Il caso delle curve di grado 3 è il primo in cui ha luogo il "paradosso". All'aumentare del grado, la situazione "peggiora": per esempio, 14 punti determinano una curva di grado 4, ma due curve di grado 4 si intersecano in 16 punti. Come implicito nella domanda, il "paradosso" fu sostanzialmente risolto da Eulero, il quale però non poté fornirne un'analisi rigorosa in quanto a suoi tempi ancora non erano noti il teorema fondamentale dell'algebra nè la teoria completa dei sistemi lineari. L'analisi rigorosa del "paradosso"fu fornita da Cramer.

Il criterio di indipendenza di configurazioni di punti nel piano ha moltissime conseguenze e interpretazioni geometriche, quindi per rispondere a questa domanda c'è un problema di sovrabbondanza, e mi limiterò ad alcuni esempi. È interessante notare quanto segue.

Se consideriamo le curve di grado d che passano per d(d+3)/2 - 1 punti, sappiamo che due di tali curve intersecano in d² punti, e quindi per ogni insieme di d(d+3)/2 - 1 punti nel piano vi sono:

d² - [d(d+3)/2 - 1] = (d-1)(d-2)/2

punti, "dipendenti dai precedenti", tali che ogni curva di grado d che passi per i d(d+3)/2 - 1 punti originali passa anche per i (d-1)(d-2)/2 punti dipendenti. Ciò spiega perchè la nozione di "punti dipendenti"non esista per d = 1,2, ovvero quando non ha luogo il "paradosso di Cramer-Eulero".Nel caso di grado 3, si ha che una cubica che passa per 8 dei 9 punti di intersezione di due cubiche passa anche per il nono.

A questo proposito può essere interessante la lettura di Evelyn, C. J. A.; Money-Coutts, G. B.; e Tyrrell, J. A. The Seven, Circles Theorem and Other New Theorems, Stacey International, Londra, p. 15, 1974.

Questo enunciato (per d = 3) è detto teorema di Cayley-Bacharach, e può essere posto in relazione con numerosi risultati elementari in geometria piana. Per esempio, costituisce una generalizzazione di un teorema di Pascal del 1640, che asserisce che dato un esagono inscritto in una conica, se si prolungano tre lati non consecutivi due a due, i tre prolungamenti si incontrano in un punto; teorema che fu generalizato da Moebius nel 1885 nella seguente forma: se tutti i punti di intersezione (eccetto al più uno) delle rette che prolungano i lati opposti di un (4n+2)-gono inscritto in una conica sono collineari, allora anche il punto rimanente è collineare.

Il teorema di Cayley-Bacharach può essere enunciato (e generalizzato) in linguaggio moderno come una proprietà dei luoghi degli zeri di sezioni di fibrati vettoriali, come si può per esempio vedere in P. Griffiths e J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley.