Lo studio degli zeri della funzione di Riemann ha appassionato i matematici sin dalla comparsa del famoso articolo di 8 pagine di Bernhard Riemann Ueber die Anzahl der Prinzhlen unter einer gegebenen Grosse ("Sul numero dei primi minori di una certa grandezza"), apparso nel 1859. In questo articolo Riemann prendeva le mossa da una famosa identità di Euler

in cui compare, nel termine a sinistra, una serie fatta sui numeri naturali, mentre nel termine di destra un prodotto su tutti i numeri primi e la cui validità risiede nella scomposizione univoca di ogni numero naturale nei suoi fattori primi. Mediante l'elaborazione successiva di questa formula, Riemann giunse infine alla determinazione della funzione π(x), ovvero di quella quantità che conta il numero dei primi minori di x.

Questa funzione π(x) ha ovviamente dei salti, precisamente salta di 1 ogni volta che variando x si incontra un numero primo. Tecnicamente è una funzione discontinua ma, se osservata su grande scala, presenta un andamento continuo suffcientemente riconoscibile, stimato in passato sia da Gauss, da Legendre, e formalizzato infine in un teorema da De la Vallè Poussin e da Hadamard.
Nella sua versione più semplice, questo teorema stabilisce che la parte continua della funzione π(x) è data dalla semplice espressione

ovvero che la probabilità che un numero N, scelto casualmente, sia primo è approssimativamente 1/ log N.
Dicevamo sopra, tuttavia, che la vera natura di π(x) è quella di una funzione discontinua. Se si vuole ottenere una sua espressione matematica che comprenda sia il suo andamento tendenziale ma anche tutti i suoi salti, occore mettere in gioco gli zeri della funzione zeta di Riemann

nel campo complesso della variabile s. Un'identità funzionale soddisfatta da questa funzione mostra che i suoi zeri non banali sono compresi nella striscia dei numeri complessi con parte reale compresa tra 0 e 1. Grazie a questa identità e ad altre formule che conducono ad una stima della funzione ξ(s) (formule mai pubblicate da Riemann ma scoperte e rielaborate successivamente da Siegel, note ora come formule di Riemann-Siegel), Riemann si convinse che gli zeri di questa funzione debbano essere tutti allineati lungo la linea con parte reale precisamente uguale a 1/2, ovvero che la loro espressione generale è data da

dove I è il numero immaginario mentre ρ_n sono dei particolari numeri reali. È questa la famosa congettura di Riemann, finora confermata per valori numerici enormi della variabile complessa s. Va aggiunto che l'insieme dei numeri reali ρ_n presenta a sua volta un'andamento medio sufficientemente regolare ma la loro origine sembra essere più che altro aleatoria.

In che modo questa congettura ha influenzato la meccanica quantistica e ha ispirato nel corso degli anni diversi lavori di grande eleganza e profondità? La risposta sta in uno dei problemi più importanti della meccanica quantistica, ovvero quello della determinazione degli spettri di energia associati ai diversi sistemi fisici presenti in natura. Lo spettro di un sistema fisico è in pratica un insieme di numeri reali e la sua natura influenza la maggior parte delle proprietà del sistema. Ogni spettro fisico, al pari dei numeri primi discussi sopra o degli zeri della funzione di Riemann, ha una sua parte sufficientemente continua (se analizzata su grande scala) ma la loro vera caratteristica, anche in questo caso, è quella di una funzione discontinua. Pur nella loro discontinuità, vi sono tuttavia spettri suffcientemente regolari, tipicamente associati a sistemi che presentano determinate simmetrie, e spettri che appaiono invece quasi come un insieme casuale di numeri. Questi ultimi sono presenti, ad esempio, in sistemi quantistici la cui dinamica classica è puramente caotica, quale quella ad esempio di una pallina costretta a rimbalzare tra le pareti di un biliardo irregolare.

Una delle scoperte più affascinanti degli ultimi anni, dovuta all'abilità matematica e all'intuito fisico di Gutzwiller, Berry e Keating, è stata innanzitutto quella di interpretare la formula di RiemannSiegel in ambito fisico, ovvero di dare un'interpretazione matematica naturale della separazione dello spettro fisico in una sua parte continua e in una parte composta dalle sue infinite oscillazioni. In un secondo momento poi, questa analogia tra le caratteristiche degli spettri fisici e le caratteristiche presenti in teoria dei numeri, è stata spinta ulteriormente oltre, soprattutto nel tentativo di venire incontro ad una domanda famosa, posta da Hilbert e Polya: se tutti gli zeri della funzione di Riemann sono effettivamente della forma (4), allora i numeri reali ρ_n possono essere considerati livelli di energia di un sistema quantistico. Ma, quale è la natura di questo sistema?

La risposta completa a questa domanda ancora non è stata trovata, tuttavia le investigazioni fatte finora hanno dato un esito sorprendente. Per la natura aleatoria dei numeri ρ_n, si può dimostrare infatti che questo sistema fisico, se esiste, non rispetta l'invarianza temporale, appare cioè come un sistema soggetto ad un campo magnetico esterno. Inoltre le orbite periodiche di questo sistema hanno una frequenza che è data precisamente dal logaritmo di tutti i numeri primi!

Detto in altri termini, l'ipotesi di Riemann si può interpretare alla luce di un'analogia musicale, dove i numeri primi sono l'equivalente di una scala musicale di frequenze per gli zeri della funzione di Riemann. Lo strumento musicale, sempre per continuare nell'analogia, è dato in questo caso da un sistema meccanico (tutt'ora da identificare) con dinamica classica caotica.

Occorre dire che le relazioni profonde tra la Meccanica Quantistica e la Teoria dei Numeri non si fermano solo al livello della funzione di Riemann ma toccano vari altri campi. Basti pensare all'interpretazione data alle serie di Dirichlet in ambito di Meccanica Statistica (idea perseguita in particolare da Julia e Spector) oppure alla possibilità di determinare la primalità di un numero in base ad elementari leggi di diffusione quantistica su un potenziale appropriato, come suggerito da Mussardo. Si è forse all'inizio di una ricerca promettente che sembra riservare ancora molte piacevoli sorprese.