Nella geometria euclidea il parallelismo tra le rette di un piano è una relazione di equivalenza, a patto di considerare due rette parallele siano esse coincidenti o prive di punti in comune.

Nell'insieme A di tutte le rette di un piano euclideo, tale relazione verifica infatti le proprietà:

1. riflessiva: ogni retta a è in relazione con se stessa, in virtù della definizione concordata di parallelismo
   
   
2. simmetrica: date due qualunque rette a e b,
   • se a coincide con b, segue che b coincide con a
   • se a non ha punti in comune con b, la stessa cosa si può affermare di b rispetto ad a
   
   
   
3. transitiva: comunque scelte tre rette a, b, c, se a è parallela a b e b è parallela a c, allora a è parallela a c (se cosí non fosse, a e c avrebbero un punto di intersezione, in contraddizione con il fatto che "per un punto esterno ad una retta b, passa un'unica retta a b parallela")
   
   

Breve approfondimento :

Nell'insieme A, gli elementi equivalenti ad un'arbitraria retta a secondo la relazione in questione costituiscono il sottoinsieme [a] di tutte e sole le rette del piano parallele ad a. Scelta b tra le rimanenti rette di A, gli elementi equivalenti a b costituiscono il sottoinsieme [b] di tutte le rette complanari e parallele a b.

Idealmente è possibile ripetere il procedimento fino suddividere l'intero insieme A in sottoinsiemi non vuoti, a due a due disgiunti, ciascuno dei quali ha per elementi tutte e solo le rette fra loro parallele: la relazione R di parallelismo determina una partizione di A in classi di equivalenza.
È noto però che rette tra loro parallele hanno la medesima direzione. Se ne deduce che la relazione di parallelismo permette di organizzare/classificare gli elementi — le rette — di A in base alla loro direzione nel piano:

due rette appartengono alla stessa classe ([a], [b], ...)		↔		sono in relazione secondo R
		↔		hanno medesima direzione

L'insieme quoziente di A rispetto ad R è quindi l'insieme di tutte le direzioni delle rette nel piano.