Nella domanda ci sono delle imprecisioni, ma non me ne stupisco perché spesso i testi di divulgazione sorvolano su un punto importante: per i Pitagorici i numeri erano solo quelli che noi chiamiamo numeri naturali (sono gli interi positivi: 1, 2, 3, 4,... ecc.) e di essi erano disposti a considerare i rapporti (che noi attualmente chiamiamo numeri razionali), mentre quello che scoprirono fu l'esistenza di segmenti fra loro incommensurabili, piuttosto che “nuovi numeri strani”. Visto che attualmente (dopo una lunga evoluzione di questo concetto) tali segmenti si misurano con numeri detti numeri irrazionali, da ciò il solito cortocircuito nei libri divulgativi, che affermano sbrigativamente che “i Pitagorici scoprirono i numeri irrazionali”.

Cominciamo a spiegare punto per punto tutta la faccenda:
- Due segmenti si dicono commensurabili se esiste una misura comune (cioè un altro segmento che funge da unità di misura) che sia contenuta un numero intero di volte in entrambi. Ad esempio, due segmenti, dei quali l'uno sia il doppio dell'altro, sono certamente commensurabili tra loro (il più piccolo funge da unità di misura u e ha misura 1 rispetto ad u, mentre l'altro ha misura 2).
- In generale, il rapporto tra le misure di due segmenti commensurabili dà luogo ad una frazione tra due numeri interi (ad esempio 1/2, 2/3, 3/4, ecc.).
- I numeri detti oggi numeri razionali sono quelli che si possono rappresentare con le frazioni tra numeri interi. Si possono scrivere in forma decimale (ma i Pitagorici non li scrivevano affatto così!). In questo caso si scrivono o con una scrittura senza virgola (se sono interi, ad esempio 5.) o con la virgola, ma allora possono avere un numero finito di cifre dopo la virgola (ad esempio 1,5 che corrisponde alla frazione 1/2) o anche infinito, purché si ripetano periodicamente (ad esempio 0,33333... che corrisponde alla frazione 1/3 oppure 0,142857142857142857.... che corrisponde alla frazione 1/7).
- Due segmenti si dicono incommensurabili se non esiste una misura comune (cioè un altro segmento che funge da unità di misura) che sia contenuta un numero intero di volte in entrambi.
- In geometria si possono incontrare esempi di segmenti incommensurabili. Pare che i Pitagorici scoprirono che sono incommensurabili tra loro il lato e la diagonale di uno stesso (qualsiasi) quadrato. Qualcuno afferma che forse si accorsero dell'incommensurabilità in altro modo (considerando il lato e la diagonale di un pentagono, o la sezione aurea di un segmento rispetto allo stesso segmento).
- Se prendiamo il lato di un quadrato come unità di misura (quindi 1 è il numero che gli associamo come misura), allora attualmente diciamo che la diagonale misura esattamente √2. Basta conoscere il teorema di Pitagora (appunto!) per scoprirlo.
- Quello che noi indichiamo con il simbolo √2 è “quel numero che elevato al quadrato dà 2”. Ma che numero è? Si può dimostrare facilmente che esso non si può scrivere in alcun modo come frazione tra due numeri interi e che quindi non è nè un numero intero, nè un numero razionale. Viene detto numero irrazionale. Ricordiamo che in latino, la parola ratio significava anche “rapporto”. La sua scrittura in forma decimale ha un numero infinito di cifre dopo la virgola, che non si ripetono mai in modo periodico. Ne scriviamo alcune: 1,41421356....
- La cosa che (si dice) sconvolse i Pitagorici fu che la loro filosofia prevedeva che tutto fosse composto da numeri (naturali) e che invece scoprirono che non era così. Ecco perché probabilmente non volevano che si sapesse in giro! La traduzione di “irrazionale” in greco è “alogos”, che significa “senza rapporto”, ma potrebbe forse significare anche “impronunciabile”... da qui l'alone di mistero.
- I numeri irrazionali di cui si è parlato non hanno niente di strano per la matematica di oggi e si insegnano ai ragazzini almeno fin dalla scuola media.

Per approfondire:
Boyer C.B., 1968, ed.it. 2000, Storia della matematica, Mondadori, Milano (l'edizione italiana ha una introduzione di L. Lombardo Radice).