Cominciamo con una nozione preliminare, che è quella di vettore. Un vettore è una quantità che oltre ad avere un valore numerico ha anche una direzione (nel piano o nello spazio). Lo pensiamo cioè come una freccia: il concetto opposto è quello di scalare, cioè un numero "e basta", senza direzione.

Se descriviamo per esempio il movimento di un oggetto, la sua massa è considerata uno scalare, mentre la velocità è un vettore. Passando dall'intuizione fisica alla sua espressione matematica, un vettore nel piano è identificato dalle sue due componenti; queste cambiano a seconda del sistema di riferimento cartesiano usato (cioè dalle direzioni che scegliamo per gli assi x e y). I matematici, e i fisici teorici, lavorano ugualmente bene con vettori che hanno due componenti, o tre, o di più, o anche infinite.

Un tensore è qualcosa che associa a un certo numero n di vettori (gli indici di controvarianza) altri m vettori (gli indici di covarianza). Vediamo qualche esempio.

Il prodotto scalare. Dati due vettori v e w, gli associamo il prodotto (v,w) della lunghezza del primo per la lunghezza della proiezione ortogonale del secondo sul primo. Quindi: in ingresso, due vettori, in uscita, uno scalare. Questo è un tensore simmetrico, nel senso che (v,w) = (w,v). In questo caso n = 2, m = 0 (il risultato è uno scalare, non un vettore, cioè un numero che non dipende dalla scelta del sistema di coordinate).

Il prodotto vettoriale. L'esempio più semplice viene dalla fisica; dati un vettore v che rappresenta la velocità di una carica elettrica e un vettore w che rappresenta il campo magnetico, il prodotto vettoriale è il vettore u che rappresenta la forza che il campo magnetico esercita sulla particella in movimento. Per essere precisi, la direzione di u è perpendicolare sia a v che a w, e il suo modulo è proporzionale all'area del parallelogramma generato da v e w. Il verso è dato dalla regola della mano destra, o del cavatappi: se aprite la mano destra "a pistola" e mettete v lungo il pollice e w lungo l'indice, u va come il medio. In questo caso il tensore ha n = 2, m = 1 ed è asimmetrico; se scambiate v e w cambia di segno.

Riassumendo, un tensore è il linguaggio matematico che si usa per descrivere un fenomeno fisico con dati e risultati vettoriali. È entrato in matematica agli inizi del 1900 circa e sembra che non ne uscirà tanto presto. I matematici ne danno in genere una definizione molto formale, che dimentica l'origine fisica e sottolinea la proprietà più importante, la cosiddetta linearità. Cioè, se moltiplicate uno dei vettori di partenza per uno scalare, il risultato sarà moltiplicato per lo stesso scalare; se (tenendo fermi gli altri vettori) ne scrivete uno come somma di due termini, il risultato sarà la somma dei risultati (la somma di vettori è quella che si ottiene con la consueta regola del parallelogrammo). A volte si parla di multilinearità, per sottolineare come la linearità valga per ogni fattore separatamente.