Si consideri la sequenza: punto, segmento, quadrato e cubo. Il punto, che secondo la classica definizione di Euclide "non ha parti", è una figura a zero dimensioni. Muovendo un punto lungo una retta si genera un segmento. Il segmento ha una lunghezza, in altre parole è una figura unidimensionale. Spostando il segmento lungo una direzione perpendicolare a se stesso, si può generare un quadrato. Il quadrato è bidimensionale essendo dotato di larghezza e lunghezza.
Il passo successivo è facile da intuire: un quadrato che trasla lungo una direzione perpendicolare al piano che lo contiene descrive un cubo: un oggetto tridimensionale.

Nel generare le varie figure è necessario spostarsi ogni volta in una nuova direzione, perpendicolare a tutte le precedenti. Il passo successivo sembra problematico, visto che non esiste una quarta direzione perpendicolare ai tre spigoli del cubo. Per fortuna è difficile scoraggiare i matematici. In effetti considerare una quarta dimensione perpendicolare alle tre che conosciamo non comporta alcuna contraddizione e, se accettiamo di considerare una geometria che non sia necessariamente una descrizione del mondo che ci circonda, nulla ci impedisce di studiare la quarta dimensione e oltre. Fin dal 1800 i matematici hanno cominciano a ragionare sulle geometrie a più di tre dimensioni.

Proviamo allora a immaginare uno spazio in cui esistano quattro, cinque o quante vogliamo direzioni, ciascuna perpendicolare a tutte le altre. In questo spazio è possibile costruire una figura quadridimensionale traslando il cubo in una direzione che il nostro cervello tridimensionale non riesce a visualizzare.
Analogamente quest'oggetto ne può generare un altro in cinque dimensioni e così via all'infinito. Queste figure si chiamano ipercubi n-dimensionali. Molto spesso con il termine ipercubo si designa il solo ipercubo quadridimensionale, il quale è chiamato anche tesseratto dalle parole greche che significano quattro raggi. Il tesseratto è quindi una figura che sta al cubo come il cubo sta al quadrato. Seguendo questa analogia possiamo dedurne moltre proprietà: esso ha 16 vertici e 32 spigoli ed è delimitato da 8 “iperfacce” cubiche, il suo ipervolume si ottiene elevando alla quarta potenza la lunghezza del lato ecc.

Può esistere un ipercubo nella realtà? Molto dipende da cosa intendiamo per “esistenza” e da quello che crediamo di sapere sulla forma della nostra realtà. Essa sembra estendersi su tre dimensioni spaziali e su una dimensione temporale, qualitativamente diversa dalle prime tre. La simmetria dell'ipercubo, che non privilegia una dimensione rispetto alle altre, ci porta a escludere il tempo dalle nostre considerazioni. Rimangono tre dimensioni spaziali che sono troppo poche per ospitare un intero ipercubo.
È un pò come se volessi far entrare un intero cubo sulla superficie di un foglio di carta. Il meglio che posso fare è disegnarne un modello: ad esempio un disegno in prospettiva, oppure il familiare sviluppo riportato nella figura sottostante.

Analogamente è possibile realizzare nel nostro spazio tridimensionale dei modelli dell'ipercubo.
Ad esempio posso costruirne lo sviluppo: una torre cruciforme formata da otto cubi che un essere quadridimensionale potrebbe ripiegare in una direzione inconcepibile per noi.

Il contatto diretto con un cubo quadridimensionale è comunque un'idea così affascinante che diversi scrittori ne hanno fantasticato.
Ad esempio Robert Heinlein ha scritto un racconto in cui si parla di una casa costruita a forma dello sviluppo di un ipercubo. Dopo un violento terremoto la casa si ripiega su se stessa lasciando agli attoniti protagonisti la visione del solo piano inferiore: l'unica iperfaccia che è rimasta immersa nel nostro spazio. Entrati all'interno, i personaggi sperimenteranno tutte le vertigini spazio-temporali adombrati dalla domanda del nostro lettore.

Bibliografia e siti web consigliati:

Abbott, Edwin A., Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni, ed. italiana a cura di M. d'Amico, Milano, Adelphi, 1996. (il testo in lingua inglese è disponibile in http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland)

Dewdney, Alexander K., The planiverse: computer contact with a two-dimensional world, New York, Poseidon Books, 1984.

Banchoff, Thomas F., Oltre la terza dimensione. Geometria, computer graphics e spazi multidimensionali, Bologna, Zanichelli, 1993.

Heinlein, Robert A., La casa nuova, ora in Anonima Stregoni, Milano, Mondadori, Urania 1456, 1 Gennaio 2003.

Tesseract, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract .

Eric W. Weisstein, Tesseract, from MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Tesseract.html

Bogomolny, Alex, The Tesseract: a 4-dimensional cube http://www.maa.org/editorial/knot/tesseract.html.

Bundgaard, Thorleif, Cubes in the 4th dimension http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N010920.HTM

Nota: i siti web sono stati visitati il 15 ottobre 2004