Per definizione un numero primo è un numero naturale (cioé intero positivo) che non si può scomporre come prodotto di due numeri naturali più piccoli. I primi numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... L'importanza dei numeri primi deriva dal cosiddetto "Teorema fondamentale dell'aritmetica", noto fin dalla scuola elementare, il quale afferma che ogni numero naturale può essere rappresentato in uno e un solo modo come prodotto di primi.

Possiamo quindi dire che i numeri primi sono i mattoni con cui costruire tutti i numeri naturali, gli atomi dell'aritmetica. Pertanto una migliore conoscenza dei primi porta a progressi in tutta quella branca della matematica che va sotto il nome di "Teoria dei numeri". Ne fa parte, per esempio, lo studio delle equazioni diofantee (equazioni a coefficienti interi di cui si cercano le soluzioni intere o razionali), di cui il più celebre esempio è l'equazione:

xⁿ + yⁿ = zⁿ,

oggetto dell'Ultimo teorema di Fermat.

Il più famoso problema aperto della matematica, dopo la dimostrazione di Andrew Wiles dell'Ultimo teorema di Fermat, è legato ai numeri primi. Si tratta dell'Ipotesi di Riemann, che è in realtà una congettura formulata da B. Riemann nel 1859 e riguarda la distribuzione degli zeri della funzione zeta. Questa è una funzione di variabile complessa definita dalla formula:

La funzione zeta si annulla se s assume un qualunque valore intero negativo pari. L'Ipotesi di Riemann afferma che tutti gli altri numeri complessi s per cui ζ(s) = 0 hanno parte reale uguale a 1/2. Per ragioni che è impossibile spiegare in poche parole, la distribuzione degli zeri di ζ(s) è a sua volta strettamente legata alla distribuzione dei numeri primi. Questi presentano un andamento che localmente è molto irregolare ma globalmente, viceversa, è assolutamente regolare. La dimostrazione dell'Ipotesi di Riemann permetterebbe di migliorare di molto la stima della funzione Π(x), definita come il numero dei primi minori di x.

L'Ipotesi di Riemann faceva già parte dei 23 problemi di Hilbert, enunciati nel 1900, che hanno segnato la ricerca matematica del secolo scorso, ed è uno dei 7 "Problemi del Millennio" per la cui soluzione il Clay Mathematics Institute ha bandito, nel 2000, un premio da un milione di dollari ciascuno.
Negli ultimi 20 anni la Teoria dei numeri primi ha attirato l'interesse di molti non matematici per le sue applicazioni nell'informatica e nella crittografia, legate per esempio al problema della sicurezza in Internet, alla firma digitale, alla trasmissione di dati in codice. In particolare sono stati sviluppati test di primalità, algoritmi di fattorizzazione, metodi per generare numeri primi e per generare numeri casuali.

Nello studio della distribuzione degli zeri della funzione zeta, recentemente sono emerse sorprendenti analogie con il Calcolo delle probabilità, la Fisica quantistica, la Teoria del caos, la Fluidodinamica, analogie che hanno convogliato sui numeri primi l'interesse di molti scienziati precedentemente molto lontani dalla teoria dei numeri.

Sull'argomento dei numeri primi, consiglio vivamente il bel libro di Marcus du Sautoy L'enigma dei numeri primi (Rizzoli, 2004). Per un'introduzione che definirei amichevole alla teoria dei numeri segnalo Aritmetica superiore di Harold Davenport (Zanichelli, 1994), contenente anche un capitolo su Computer e teoria dei numeri. Segnalo infine il sito web del Clay Mathematics Institute sui "Problemi del Millennio", http://www.claymath.org/millennium.
Vi si trova anche un articolo introduttivo (ma non elementare) sull'Ipotesi di Riemann scritto dal matematico italiano Enrico Bombieri, vincitore della medaglia Fields nel 1974.