Malgrado le apparenze, il paradosso della dicotomia come quello di"Achille e la tartaruga" (che è riconducibile al primo, facendo opportune assunzioni sui punti di partenza di Achille e della tartaruga e sulla loro velocità) non riguardano la possibilità del moto contestata invece dal paradosso della freccia in movimento. Essi, in realtà, pongono un problema relativo ai rapporti che possono sussistere tra Fisica e Matematica.

Infatti una distanza fisica finita, costituita perciò da una serie di punti fisici avente un primo e un ultimo elemento, viene posta in corrispondenza con una serie infinita di punti matematici dotata di un primo elemento, ma priva di un elemento ultimo (poniamo per esempio la serie dei numeri razionali nell'intervallo [0,1)). Tale corrispondenza tra serie fisica e serie matematica è manifestamente imperfetta, ma essa diventa perfetta nel momento in cui si definisce l'elemento finale della serie matematica, il limite a cui converge la serie, appunto la somma degli infiniti intervalli razionali. Questa è la soluzione classica al paradosso della dicotomia e l'utente può ragionevolmente esserne insoddisfatto perchè la definizione di limite non garantisce in alcun modo che percorrendo fisicamente gli intervalli razionali si giunga di fatto al limite.

Essa assicura meramente che gli intervalli percorsi possano essere arbitrariamente vicini al limite, ossia che siano "sempre più vicini al termine della distanza fisica considerata". Infine, la descrizione matematica della distanza fisica coinvolge un riferimento a infiniti elementi. È stata proposta, intorno agli anni '80, una soluzione alternativa molto raffinata basata su una teoria non standard dei numeri razionali ([1], [2]). Questa teoria, peraltro piuttosto esotica, attribuisce al concetto di finito (e quindi per complementarietà al concetto di infinito) un senso inconsueto per cui risulta che la serie dei numeri razionali, poniamo tra 0 e 1, sia finita, istituendo in tal modo una perfetta armonia tra spazio fisico e sua descrizione matematica. Il problema è che tale teoria può apparire non molto intuitiva; ma il concetto di ciò che possa essere considerato matematicamente intuitivo è probabilmente condizionato da fattori storici e culturali.

Forse la lezione da trarre è che il paradosso della dicotomia costituisce una sfida perenne a cui ogni generazione, felicemente, trova nuove soluzioni per poter riaffermare la possibilita' di fornire una descrizione matematica del mondo fisico che ci circonda.

[1] W.I McLaughlin e S.L Miller: 1992, An Epistemological Use of Non standard Analysis to answer Zeno's objections against motion, Synthese 92; pp. 371-384.

[2] E. Nelson, Internal Set Theory: a new approach to non standard analysis, Bull. of the American Mathematical Society 83, 6, 1977; pp.1165-98.