Stabilire relazioni tra grandezze lineari e grandezze angolari nei triangoli è compito della trigonometria, parte della matematica che vanta origini antiche e contributi di studiosi di epoche e culture diverse.
Queste relazioni trovano importanti applicazioni pratiche in particolari situazioni in cui la misurazione diretta delle grandezze in gioco non è sempre possibile: per esempio in fisica, astronomia, geografia, topografia. Grazie a esse è possibile valutare indici di rifrazione e altezze di campanili e torri, calcolare la distanza tra punti separati da un ostacolo o tra due punti visibili ma inaccessibili, stimare la distanza della Terra dal Sole, guidare la navigazione marittima e aerea e così via.
Nel problema 56 il papiro di Rhind, datato 1650 a.C. circa, testimonia perfino presso gli antichi Egizi l'utilizzo di un rapporto tra segmenti quale espressione dell'inclinazione delle facce laterali di una piramide rispetto alla sua base.

Cercare una relazione che lega grandezze lineari e grandezze angolari di un qualsiasi triangolo significa affrontare un cammino mirato alla risoluzione di un triangolo qualunque, cioè alla determinazione numerica dei suoi elementi incogniti quando del triangolo siano noti:

caso I) tre lati
caso II) due lati e l'angolo fra essi compreso
caso III) un lato e due angoli
caso IV) due lati e l'angolo opposto ad uno di essi

In altre parole: è possibile determinare i sei elementi (lati ed angoli) di un triangolo quando ne siano assegnati solo tre fra cui almeno un lato.

Per un approfondimento in merito rimando al sito "Progetto Matematic@" e alla risposta "Angoli e lati di un triangolo", limitandomi a ricordare che:

• in un triangolo, la stessa relazione di grandezza che intercorre fra due lati a e b, intercorre pure fra i rispettivi angoli opposti α e β , e viceversa:
  
  a ≤ b ↔ α ≤ β
  
• in un triangolo, ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza
• la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°

Queste proprietà e la conoscenza delle funzioni goniometriche (seno, coseno e tangente di un angolo) sono strumenti indispensabili per affrontare la risoluzione di un triangolo e comprenderne le svariate applicazioni in campo geometrico e non.