La trascendenza di e fu provata da Charles Hermite nel 1873.
La dimostrazione fu successivamente semplificata da vari matematici, tra cui David Hilbert.

Riporto qui la dimostrazione data da Ian Stewart nel libro Galois theory, edito da Chapman & Hall Mathematics, 1989. La linea della dimostrazione ricorda quella, riportata in una mia precedente risposta, della trascendenza di π, che è però più complessa.
Si tratta di una dimostrazione per assurdo, che si basa su semplici argomenti di calcolo differenziale: si costruisce un opportuno integrale definito, dipendente da un numero primo p, e poi si fa vedere che, da una parte questo integrale assume valori interi positivi per ogni p fissato, dall'altra tende a 0 al crescere di p, il che è palesemente una contraddizione.

Supponiamo dunque per assurdo che e sia radice di un polinomio non nullo a coefficienti interi, cioè che sia verificata una relazione del tipo

dove gli a_i sono numeri interi e a_m≠ 0. Si può supporre inoltre a₀≠ 0, perchè altrimenti ci si riduce a un polinomio di grado minore.
Introduciamo ora il seguente polinomio di grado p -1+mp:

dove p è un numero primo arbitrario.
Definiamo anche

e notiamo che f^(mp+p) = 0: F è la somma delle derivate di f. Per le proprietà di e si ha:

dunque - e^-xf(x) è una primitiva di e^{- x}F(x). Si ha quindi, per ogni
j = 0, ... , m, l'uguaglianza

Moltiplicando ora l'integrale per a_je^j e sommando su j che varia da 0 a m, otteniamo:

espressione che, per la (1) e la definizione di F, è uguale a

     (2)

Osserviamo ora che un addendo non nullo nell'espressione di f⁽ⁱ⁾(j), con j ≠ 0, può provenire solo dal fattore (x - j)^p di f, derivato p volte. Un tale addendo ha coefficiente p!, che va poi diviso per (p - 1)!, pertanto il contributo degli addendi con j ≠ 0 nella (2) è un intero multiplo di p. Se j = 0: si ha un termine non nullo che viene da

ed inoltre un contributo dovuto alle derivate successive f⁽ⁱ⁾(0) con
i > p - 1, che risulta essere un intero multiplo di p, per un argomento analogo al precedente. Pertanto la (2) è un numero del tipo
Kp - a₀(-1)^p ... (-m)^p, con K intero. Se p è un primo maggiore del massimo fra m e |a|₀, tale numero intero non è divisibile per p, in particolare è non nullo.

D'altra parte, se 0 ≤ x ≤ m,
|f(x)| ≤ (m^{mp + p - 1})/(p -1)! e inoltre: e^{- x} ≤ 1, da cui:

espressione questa che tende a 0 al crescere di p.
Si arriva così a una contraddizione.