La domanda è interessante e merita una risposta esauriente. Il vero punto è se sono possibili definizioni alternative dell'energia.
L'idea di poter definire l'energia come una costante del moto per un sistema isolato è stata un'idea guida nello sviluppo della fisica. Se è nota l'energia di un sistema lo si pone in interazione con un altro sistema e si cerca di definire e di misurare l'energia di questo dal bilancio di scambio col primo. Un esempio di questa procedura è il primo principio della termodinamica che definisce il calore come energia. Un altro esempio è la definizione di densità di energia del campo elettromagnetico dallo scambio con una particella carica. L'idea teorica di fondo è che la fisica è invariante per traslazioni temporali. A questa invarianza è associata una costante del moto che è appunto l'energia.
Per la natura della procedura sopra accennata, per rispondere alla domanda basta considerare un singolo sistema fisico. E noi, per semplicità, sceglieremo una particella puntiforme di massa m. Se esiste una arbitrarietà nel definire l'energia di questo sistema essa si rifletterebbe in una arbitrarietà generale.
Con la definizione usuale di lavoro il lavoro dL fatto su una particella che si muove con velocità nel tempo dt è

ossia , usando l'equazione di moto

è la forza totale agente sulla particella. In assenza di forza l'energia cinetica è costante nel tempo. L'equazione (2) descrive lo scambio di energia col sistema che produce la forza .
Di fatto una qualunque funzione di v², diciamo

con g una arbitraria funzione regolare di v² è conservata per una particella non soggetta a forze, perchè essa si muove con velocità costante.
Con la scelta (3) lo scambio energetico è descritto da

Come per la (2) E(v) è costante in assenza di forze esterne . La (2) e la (4) sono due definizioni alternative di energia e di lavoro, entrambe compatibili col primo e col secondo principio della dinamica. Per la scelta (4)

.

Notiamo che la forma è anche valida per una particella relativistica, con equazione di moto .Infatti per la (1)

.

Ricordando che

si ha

Una particella puntiforme è una astrazione. Una qualunque particella che descriviamo come un punto materiale è in realtà un insieme di particelle tenute insieme da forze. È il terzo principio della dinamica che rende possibile questa astrazione. Questo principio impone che le forze interne e i loro momenti si bilancino a zero: nel caso semplice di un sistema composto di due particelle le forze reciproche sono opposte e collineari. Supporremo per semplificare l'argomento che esse derivino da un potenziale con e che le masse siano uguali. Se si descrive il sistema in termini dei costituenti, assumendo la (4) per l'energia cinetica si ha

Se si descrive il sistema come una singola particella con struttura interna, cioè in termini della velocità del baricentro e della velocità relativa , sotto trasformazioni di Galileo e restano invariate: il moto interno è invariante. Pertanto, detta M la massa totale si ha:

Per confronto con la (6) è facile vedere che c'è compatibilità solo se la funzione g(v²) è una costante. Infatti, differenziando la (7) rispetto a V_i il termine nelle variabili di moto relativo si cancella e il risultato dipende solo da . La stessa operazione fatta sulla (6) dà

Per . Moltiplicando i due membri della (7) per V_i e sommando su "i" si ottiene

La richiesta indipendenza da v² impone che l'ultimo fattore a secondo membro della (9) sia indipendente da v² e questo implica che la funzione g(v²) è una costante. Il terzo principio e l'invarianza delle leggi del moto sotto trasformazioni di Galileo fissano la forma dell'energia a essere la usuale energia cinetica e il lavoro la forza per lo spostamento.