Per rispondere, preliminarmente occorre ricordare che la termodinamica è stata la prima teoria fisica che ha offerto l'occasione per la nascita di un atteggiamento assiomatico in fisica teorica (Reech 1853; da cui il testo di ricostruzione storica di C. Truesdell e S. Bharatha, Concepts and Logic of Classical Thermodynamics As a Theory of Heat Engines Rigorously Constructed upon Foundation Laid by S. Carnot & F. Reech, Springer, 1978).

Inoltre, su stimolo di M. Born. il grande matematico C. Carathéodory nel 1909 ha prodotto la prima "assiomatica" in fisica, impostando la termodinamica sul chiaro problema matematico, il differenziale non esatto del calore. Quindi la termodinamica è la teoria fisica che più di tutte conosce la assiomatica. Ma quest'ultima formulazione è risultata, invece che decisiva per l'avanzamento della teoria, troppo astratta (tanto più quando la si confronti con ulteriori rifondazioni della termodinamica, come quella di J.N. Broensted, Principles of Energetics, Interscience, 1946 o addirittura con gli sviluppi della termodinamica dei processi irreversibili). Lo stesso Carathéodory alla fine del suo articolo aveva ammesso che il suo principio non è fisicamente verificabile (vedere la traduzione inglese in J. Kestin (ed.), The Second Law of Thermodynamics, Dowden, Stroudsburg Penns., 1976, pag. 229-256).

Da qui la tendenza, dal dopoguerra in poi, a semplificare quel principio con concetti più basilari; in generale riducendo il livello delle equazioni differenziali dell'analisi infinitesimale a quello di operazioni minime, magari algebriche (qui ci sono le riformulazioni di H.A. Buchdahl, The Concepts of Classical Thermodynamics, Cambridge, 1966; R. Giles, ecc.).

Qui ritorna il precedente atteggiamento di fisica-matematica, cioè da "termodinamica razionale", che dà per scontato il legame della fisica con l'analisi infinitesimale. Appunto come quello di Callen, che usa due postulati; uno sulla caratterizzazione degli stati del sistema mediante pochi parametri; l'altro sull'esistenza di una funzione (entropia) tale che è massimizzata dai parametri estensivi; quindi essa ha al centro un'operazione di massimizzazione.

Ma è da notare che tutto questo lavorio collettivo ha uno scopo preciso, quello di ricercare i fondamenti della termodinamica, non quello di migliorare dei fondamenti già scoperti. In particolare è molto difficile agli autori suddetti chiarire il ruolo teorico del concetto di reversibilità, irrinunciabile per la teoria.

Su questi aspetti legati ai fondamenti, A. Sommerfeld distingue due tipi di definizioni: a seconda che si metta l'attenzione sugli effetti compiuti dal processo (questa definizione è giudicata da Sommerfeld impossibile da verificare, se non con molta approssimazione) oppure sulla modalità di esecuzione del processo (per esempio "molto lento"). Già la pluralità di definizioni di questo concetto lascia perplessi sulla capacità dei fisici termodinamici di chiarire i loro concetti fondamentali. Questo punto è sottolineato da un autore di solito molto acuto, P.T. Landsberg, Is Thermodynamics an axiomatic discipline?, Bull. Inst. Phys. and the Phys. Soc., (June 1964), pag.150-156 e Main ideas in the Axiomatic of Thermodynamics, Pure Appl. Chem, 22 (1970), pag. 215-227 (anche se il suo vecchio testo, Thermodynamics, Interscience, 1961, pag. 94, non dà spazio al concetto di reversibilità, definito come quasi statico).

Di fatto le formulazioni che usano l'analisi infinitesimale (per esempio, Carathéodory) dimenticano il concetto di reversibilità; mentre esso viene usato in maniera forte dalle teorie che usano ragionare sul ciclo di Carnot, cioè, come si dice impropriamente, fenomenologicamente. Questo fatto indica che il concetto in realtà riguarda il rapporto fisica-matematica, aspetto della fisica troppo spesso dato per assicurato una volta per tutte dalla meccanica newtoniana; quando invece poi dopo i quanti l'hanno sconvolto e oggi tutta la fisica delle particelle elementari usa la teoria dei gruppi invece delle tradizionali equazioni differenziali.

Chiediamoci: un processo quasi statico, è statico o no? Se sì, non è un processo; se no, non è statico, ma dinamico. Su questa definizione Sommerfeld dice: "Di fatto i processi reversibili non sono affatto processi, sono sequenze di stati di equilibrio"; il che, per uscire dal dilemma, smonta la stessa parola (processo) usata regolarmente dalla teoria termodinamica (riducendosi alla sola statica!).

La situazione è del tutto analoga alla secolare maniera di definire l'infinitesimo in analisi (almeno fino alla fine dell'Ottocento): l'infinitesimo sarebbe una quantità "che tende a zero". Ma o è zero, e allora non è infinitesimo, è nullo; o è diverso da zero, e allora è una quantità finita. Cioè, in ambedue le definizioni si è creduto di guadagnare in chiarezza spostando l'attenzione dai contenuti (lasciati imprecisati) del concetto, a un presunto processo dinamico che lo realizzerebbe. Evidentemente si è pensato che il "dinamismo" potesse coprire l'imprecisione della definizione. E invece, proprio come il "tendere a zero" dà un barlume di intuizione, ma di fatto chiude la definizione di infinitesimo in un vicolo cieco, così, nel caso della reversibilità, la "quasi-staticità" ci dà una parvenza di idea operativa, ma in realtà rende impossibile ogni precisazione teorica. Notiamo piuttosto che la definizione mediante il concetto di "quasi-statico" è un retaggio del vecchio calcolo degli infinitesimi. In questa matematica uno stato termodinamico può essere definito non solo con un numero reale, ma anche con un infinitesimo (con un iperreale, si dice nella sua riformulazione moderna, l'analisi non-standard). Questo concetto, trasportato in fisica, traduce l'idea intuitiva di un singolo stato che, come punto, è di equilibrio, ma, essendo un punto infinitesimo, è anche un trattino di percorso; ciò corrisponde proprio all'idea intuitiva di uno stato all'interno di un processo quasi-statico.

Se però, come ha fatto l'analisi dal 1870, escludiamo gli infinitesimi e ci rivolgiamo alla matematica "rigorosa'' che ci hanno insegnato all'università, allora uno stato deve essere rappresentato da un punto isolato, anche se questo fosse il risultato di una operazione di limite; perché qui la tecnica del limite ci obbliga a individuare (o scegliere) idealisticamente il singolo punto finale da uno degli intervalli "δ", che invece, per quanto piccolo, è sempre dato da due punti estremi. Ma allora, dal solo esame di un punto isolato, non possiamo ricavare proprietà sul processo e quindi sulla reversibilità. È evidente che proprio perché la matematica "rigorosa'', in questo caso, era insufficiente, i termodinamici hanno ripiegato sulla sorpassata matematica degli infinitesimi, il che ha suggerito una idealistica "quasi-staticità".

Ma dal 1967 c'è una matematica "costruttiva" (E. Bishop, Foundations of Constructive Mathematics, Mc Graw-Hill, 1967) che rifiuta l'infinito in atto della precisione assoluta nei calcoli (e tantomeno quello dell'infinitesimo). Qui lo stato è rappresentato in generale da un trattino (ma di lunghezza sempre più riducibile) del continuo, entro il quale ogni parametro può ancora variare. E in effetti così siamo costretti a pensarlo operativamente, quando teniamo conto che tutte le nostre misure sono necessariamente imprecise (anche se sempre perfettibili). Quindi tra tutti i tipi di matematica, quella costruttiva appare meglio adeguata alla operatività fisica; come pure alla ricostruzione del concetto di stato come punto costruttivo, che lo traduce anche in termini che sono sperimentali; il concetto della invertibilità che corrisponde matematicamente alla puntuale continuità; e poi la reversibilità come aggiunta della uniforme continuità, in parallelo alle richieste di assenza di attrito e di viscosità, ecc. che in realtà sono necessarie per passare da un processo quasi statico a uno reversibile (si può vedere che questa matematica è più adeguata anche per ricostruire i passaggi teorici fondamentali della teoria termodinamica).

Anche la matematica degli infinitesimi può rappresentare uno stato che è un processo (con l'infinitesimo che "tende a zero"), ma idealizza la termodinamica e quindi ne snatura il carattere operativo. In definitiva la richiesta di introdurre la reversibilità in maniera chiara nelle attuali formulazioni della termodinamica non tiene conto che queste quando si basano su operazioni come massimizzazioni, uguaglianze esatte, ecc. perdono il rapporto con la matematica costruttiva e quindi danno luogo inevitabilmente a dei problemi di operatività.