Radici e divisioni
Com'è noto l'estrazione della radice ennesima e il logaritmo sono le due operazioni inverse dell'operazione elementare di elevazione a potenza; la quale non è nient'altro che una moltiplicazione di n fattori tutti eguali fra loro, una particolare moltiplicazione iterata dunque. Ma allora l'estrazione della radice ennesima e il logarimo, nel caso di quadrati, cubi...ennupli
perfetti, dovrebbero a buon diritto potersi interpretare come delle particolari divisioni iterate e calcolarsi dunque come tali?
Tuttavia a me ciò torna solamente nel caso del logaritmo. Infatti, prendiamo per esempio 26 = 64; nota la base (2) e la potenza (64) si riesce a trovare l'esponente, dunque a calcolare il logaritmo, dividendo a mano a mano 64 per 2 fino a trovare l'unità e contando il numero di divisioni svolte:
64:2 = 32:2 = 16:2 = 8:2 = 4:2 = 2:2 = 1;
avendo diviso sei volte, il logaritmo sarà, com'è esatto, pari a 6. Prendendo in considerazione la radice sesta di 64, invece, non riesco a venire a capo di nulla visto che se divido 64 per l'esponente 6 non ottengo un numero intero e non arrivo pertanto a ottenere l'unità così da poter contare le volte per cui ho diviso 64 per l'esponente e a trovare in tal modo la base.
Vi domando allora, ovviamente nel solo caso di radici ennesime di ennupli perfetti, qual è la divisione iterata rappresentante l'operazione inversa dell'elevazione a potenza?
3 febbraio 2004
Il quesito è sottile e non banale. Una potenza ab (con a > 0, b diverso da 0) può essere pensata in due modi differenti:
1) la base è variabile e l'esponente è fisso: xb
2) oppure la base è fissa e l'esponente è variabile: ax
Il primo caso dà origine alla funzione potenza xb, la cui funzione inversa è ancora una funzione potenza: la funzione potenza x(1/b). Il secondo caso dà origine alla funzione esponenziale ax, la cui funzione inversa è logax (indico così il logaritmo di x in base a).
Nell'esempio proposto, 26 = 64, possiamo pensare in due modi differenti:
1) abbiamo 2 come dato e 6 come valore incognito: 2x = 64. Il numero di divisioni ripetute per 2 (noto) fornisce l'incognita
x = log264. Si tratta di un metodo empirico, per tentativi; se avessimo 65 anziché 64, dovremmo affinare l'algoritmo.
2) Abbiamo 6 come dato e 2 come incognita: x6 = 64.
Anche in questo caso possiamo usare un metodo empirico: scomporre 64 in 6 fattori uguali. Stiamo facendo esattamente l'operazione inversa.
Un'ultima osservazione: non è vero, in generale, che una potenza ab sia una moltiplicazione iterata; è vero solo se b è un numero intero. Se 23 = 8 e 24 = 16, come possiamo estendere l'operazione 2x per tutti i numeri reali compresi tra 3 e 4 ?
Il vero salto di qualità nella comprensione della potenza consiste nel pensarla applicata a numeri reali.
Michele Impedovo
Dipartimento di teoria delle decisioni, Università Bocconi, Milano
Keywords:
algebra,
aritmetica
